18 Fragen zu Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung1. **Gleichungen aufstellen**: Gegeben sind zwei Gleichungen in der Form: \[ y = f(x) \] \[ y = g(x) \] 2 **Gleichsetzen**: Setze die beiden Gleichungen gleich: \[ f(x) = g(x) \] 3. **Lösen**: Löse die resultierende Gleichung nach \(x\) auf. 4. **Einsetzen**: Setze den gefundenen Wert von \(x\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um den entsprechenden \(y\)-Wert zu finden. **Beispiel:** Gegeben sind die Gleichungen: \[ y = 2x + 3 \] \[ y = -x + 5 \] 1. **Gleichsetzen**: \[ 2x + 3 = -x + 5 \] 2. **Lösen**: \[ 2x + x = 5 - 3 \] \[ 3x = 2 \] \[ x = \frac{2}{3} \] 3. **Einsetzen**: Setze \(x = \frac{2}{3}\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, z.B. \(y = 2x + 3\): \[ y = 2 \left(\frac{2}{3}\right) + 3 \] \[ y = \frac{4}{3} + 3 \] \[ y \frac{4}{3} + \frac{9}{3} \] \[ y = \frac{13}{3} \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = \frac{2}{3}, \quad y = \frac{13}{3} \]

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, müssen die beiden Gleichungen so umgeformt werden, dass eine Variable in beiden Gleichungen gleich ist. Hier sind die beiden Gleichungen: 1. \( 7x - 11y = 1 \) 2. \( 14x - 20y = 12 \) Zuerst wird die erste Gleichung so umgeformt, dass \( x \) isoliert wird: \[ 7x - 11y = 1 \] \[ 7x = 11y + 1 \] \[ x = \frac{11y + 1}{7} \] Nun wird die zweite Gleichung so umgeformt, dass \( x \) isoliert wird: \[ 14x - 20y = 12 \] \[ 14x = 20y + 12 \] \[ x = \frac{20y + 12}{14} \] \[ x = \frac{10y + 6}{7} \] Jetzt werden die beiden Ausdrücke für \( x \) gleichgesetzt: \[ \frac{11y + 1}{7} = \frac{10y + 6}{7} \] Da die Nenner gleich sind, können die Zähler gleichgesetzt werden: \[ 11y + 1 = 10y + 6 \] Nun wird nach \( y \) aufgelöst: \[ 11y - 10y = 6 - 1 \] \[ y = 5 \] Jetzt wird der Wert von \( y \) in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt, um \( x \) zu finden. Verwenden wir die erste Gleichung: \[ 7x - 11(5) = 1 \] \[ 7x - 55 = 1 \] \[ 7x = 56 \] \[ x = 8 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = 8 \] \[ y = 5 \]

Das Gleichsetzungsverfahren eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystem. Hier ist eine Schrittür-Schritt-An zur Lösung des gegeben Gleichungssystems: . Gegebenes Gleichungssystem: \[ \begin{} -3x + y = \\ 3x - y =6 \endcases} \] . Addiere die beiden Gleichungen, um der Variablen zu eliminieren: \[ (-3x + y + (3x - y) = 6 +6 \] \[ 0 = \] . Da die Addition beiden Gleichungen zu einer falschen Aussage führt (0 = 12), gibt es keine Lösung für dieses Gleichungssystem. Das bedeutet, dass die beiden Geraden parallel sind und sich nie schneiden. Das Gleichungssystem ist also widersprüchlich und hat keine Lösung.

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Hier ist eine Schrittür-Schritt-Anleitung Lösung des gegebenen Gleichssystems: 1. Gegebenes Gleichssystem: \[ \begin{} -3x + y = \\ 3 - y = \endcases} \] 2. Gleichungen nach \( y \ auflösen: \[ y =6 + 3x \quad \text(aus der ersten Gleichung)} \ \[ = 3x 6 \quad \text(aus der zweiten Gleichung)} \] 3. Die beiden Ausdrücke für \( y \) gleichsetzen: \[ 6 + 3x = 3x - 6 \] 4. Die Gleichung vereinfachen: \[ 6 + x - 3x = -6 \] \[ 6 = -6 \] Diese Gleichung ist offensichtlich falsch, was bedeutet, dass das ursprüngliche Gleichungssystem keine hat. Die beiden Geraden sind parallel und schneiden sich nicht. Das Gleichungssystem ist also widersprüchlich und hat keine Lösung.

Um das lineare Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Schreibe die beiden Gleichungen auf: \[ \begin{cases} x + 2y = 4 \quad \text{(1)} \\ x - 4y = 5 \quad \text{(2)} \end{cases} \] 2. Stelle beide Gleichungen nach \( x \) um: \[ x = 4 - 2y \quad \text{(aus Gleichung 1)} \] \[ x = 5 + 4y \quad \text{(aus Gleichung 2)} \] 3. Setze die beiden Ausdrücke für \( x \) gleich: \[ 4 - 2y = 5 + 4y \] 4. Löse die Gleichung nach \( y \) auf: \[ 4 - 5 = 4y + 2y \] \[ -1 = 6y \] \[ y = -\frac{1}{6} \] 5. Setze den Wert von \( y \) in eine der umgestellten Gleichungen ein, um \( x \) zu finden. Verwende \( x = 4 - 2y \): \[ x = 4 - 2\left(-\frac{1}{6}\right) \] \[ x = 4 + \frac{2}{6} \] \[ x = 4 + \frac{1}{3} \] \[ x = \frac{12}{3} + \frac{1}{3} \] \[ x = \frac{13}{3} \] Das Lösungspaar für das Gleichungssystem ist: \[ \left( \frac{13}{3}, -\frac{1}{6} \right) \]

Um die Gleichung \(9x + 9 = 7x + 11\) mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Gleichung umstellen**: Subtrahiere \(7x\) von beiden Seiten der Gleichung: \[ 9x - 7x + 9 = 11 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2x + 9 = 11 \] 2. **Konstante isolieren**: Subtrahiere 9 von beiden Seiten: \[ 2x = 11 - 9 \] Das ergibt: \[ 2x = 2 \] 3. **x isolieren**: Teile beide Seiten durch 2: \[ x = \frac{2}{2} \] Das ergibt: \[ x = 1 \] Die Lösung der Gleichung ist also \(x = 1\).

Hier sind drei Aufgaben zum Gleichsetzungsverfahren von linearen Gleichungen: 1 Löse das folgende Gleichungssystem: \[ 2x + 3y = 12 \] \[ 4x - y = 5 \] 2. Finde die Lösung für das folgende System: \[ x - 2y = 4 \] \[ 3x + y = 7 \] 3. Bestimme die Werte von \(x\) und \(y\) in diesem Gleichungssystem: \[ 5x + 2y = 20 \] \[ 3x - y = 1 \] Viel Erfolg beim Lösen!

Das lineare Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Dabei werden zwei oder mehr Gleichungen betrachtet, die dieselben Variablen enthalten. Der grundlegende Ansatz besteht darin, eine der Gleichungen nach einer Variablen umzustellen und diese dann in die andere(n) Gleichung(en) einzusetzen. Hier sind die Schritte im Detail: 1. **Gleichungen aufstellen**: Beginne mit einem System von linearen Gleichungen, z.B.: \[ \begin{align*} 1. & \quad 2x + 3y = 6 \\ 2. & \quad x - y = 2 \end{align*} \] 2. **Eine Gleichung umstellen**: Wähle eine der Gleichungen und stelle sie nach einer Variablen um. Zum Beispiel aus der zweiten Gleichung: \[ x = y + 2 \] 3. **Einsetzen**: Setze den Ausdruck für die umgestellte Variable in die andere Gleichung ein. In diesem Fall: \[ 2(y + 2) + 3y = 6 \] 4. **Lösen**: Löse die resultierende Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf: \[ 2y + 4 + 3y = 6 \\ 5y + 4 = 6 \\ 5y = 2 \\ y = \frac{2}{5} \] 5. **Rücksubstitution**: Setze den gefundenen Wert in die umgestellte Gleichung ein, um die andere Variable zu berechnen: \[ x = \frac{2}{5} + 2 = \frac{2}{5} + \frac{10}{5} = \frac{12}{5} \] 6. **Lösung**: Die Lösung des Gleichungssystems ist somit: \[ x = \frac{12}{5}, \quad y = \frac{2}{5} \] Das lineare Gleichsetzungsverfahren ist besonders nützlich, wenn die Gleichungen einfach umgestellt werden können und die Variablen klar erkennbar sind.

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, müssen wir die beiden Gleichungen so umformen, dass wir eine der Variablen gleichsetzen können. Die beiden Gleichungen sind: 1. \( 6y = 3x - 2 \) 2. \( 2y = 2x + 2 \) Zuerst formen wir beide Gleichungen nach \( y \) um: 1. \( y = \frac{3x - 2}{6} \) oder vereinfacht \( y = \frac{x}{2} - \frac{1}{3} \) 2. \( y = x + 1 \) Jetzt setzen wir die beiden Ausdrücke für \( y \) gleich: \[ \frac{x}{2} - \frac{1}{3} = x + 1 \] Um die Gleichung zu lösen, multiplizieren wir alles mit 6, um die Brüche zu eliminieren: \[ 6 \left( \frac{x}{2} \right) - 6 \left( \frac{1}{3} \right) = 6(x + 1) \] Das vereinfacht sich zu: \[ 3x - 2 = 6x + 6 \] Nun bringen wir alle \( x \)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[ 3x - 6x = 6 + 2 \] Das ergibt: \[ -3x = 8 \] Teilen wir durch -3: \[ x = -\frac{8}{3} \] Jetzt setzen wir \( x \) in eine der beiden Gleichungen ein, um \( y \) zu finden. Wir verwenden die zweite Gleichung: \[ y = x + 1 = -\frac{8}{3} + 1 = -\frac{8}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{5}{3} \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = -\frac{8}{3}, \quad y = -\frac{5}{3} \] Das Ergebnis ist also \( \left( -\frac{8}{3}, -\frac{5}{3} \right) \).

Um die Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Gleichungen aufstellen**: - Gleichung 1: \( y = 8x + 2 \) - Gleichung 2: \( y = 2x - 9 \) 2. **Gleichsetzen**: Da beide Gleichungen \( y \) repräsentieren, setzen wir sie gleich: \[ 8x + 2 = 2x - 9 \] 3. **Umformen**: Subtrahiere \( 2x \) von beiden Seiten: \[ 8x - 2x + 2 = -9 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 6x + 2 = -9 \] Subtrahiere 2 von beiden Seiten: \[ 6x = -11 \] Teile durch 6: \[ x = -\frac{11}{6} \] 4. **Wert für \( x \) in eine der Gleichungen einsetzen**: Setze \( x \) in Gleichung 1 ein, um \( y \) zu finden: \[ y = 8\left(-\frac{11}{6}\right) + 2 \] Das ergibt: \[ y = -\frac{88}{6} + 2 = -\frac{88}{6} + \frac{12}{6} = -\frac{76}{6} = -\frac{38}{3} \] 5. **Lösung**: Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ \left( x, y \right) = \left( -\frac{11}{6}, -\frac{38}{3} \right) \]

Um das gegebene lineare Gleichungssystem (LGS) mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, gehen wir wie folgt vor: Die beiden Gleichungen sind: 1. \(-\frac{2}{5}y = -2.5 - \frac{3}{4}x\) 2. \(-9 + \{5}{2}x = -\frac{2}{5}y\) Zuerst bringen wir die erste Gleichung in die Form \(y = mx + b\): 1. \(-\frac{2}{5}y = -2.5 - \frac{3}{4}x\) Multipliziere beide Seiten mit \(-\frac{5}{2}\): \[y = \frac{5}{2} \left(2.5 + \frac{3}{4}x\right)\] Berechne den Ausdruck: \[y = \frac{5}{2} \cdot 2.5 + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4}x\] \[y = 6.25 + \frac{15}{8}x\] Jetzt haben wir die erste Gleichung in der Form \(y = mx + b\). Nun bringen wir die zweite Gleichung ebenfalls in die Form \(y = mx + b\): 2. \(-9 + \frac{5}{2}x = -\frac{2}{5}y\) Multipliziere beide Seiten mit \(-\frac{5}{2}\): \[\frac{5}{2} \cdot 9 - x = y\] \[y = \frac{45}{2} - x\] Jetzt haben wir beide Gleichungen in der Form \(y = mx + b\): 1. \(y = 6.25 + \frac{15}{8}x\) 2. \(y = \frac{45}{2} - x\) Jetzt setzen wir die beiden Ausdrücke für \(y\) gleich: \[6.25 + \frac{15}{8}x = \frac{45}{2} - x\] Um die Gleichung zu lösen, bringen wir alle \(x\)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[\frac{15}{8}x + x = \frac{45}{2} - 6.25\] Um \(x\) zu isolieren, konvertieren wir \(x\) in einen Bruch: \[x = \frac{8}{8}x\] Somit: \[\frac{15}{8}x + \frac{8}{8}x = \frac{45}{2} - 6.25\] \[\frac{23}{8}x = \frac{45}{2} - \frac{12.5}{2}\] \[\frac{23}{8}x = \frac{32.5}{2}\] \[\frac{23}{8}x = 16.25\] Multipliziere beide Seiten mit \(\frac{8}{23}\): \[x = 16.25 \cdot \frac{8}{23}\] \[x = \frac{130}{23}\] Jetzt setzen wir \(x\) in eine der beiden Gleichungen ein, um \(y\) zu finden. Wir verwenden die erste Gleichung: \[y = 6.25 + \frac{15}{8} \cdot \frac{130}{23}\] Berechne \(y\): \[y = 6.25 + \frac{1950}{184}\] \[y = 6.25 + 10.59\] \[y = 16.84\] Die Lösung des LGS ist: \[x = \frac{130}{23}, \quad y = 16.84\]

Um das Gleichsetzungsverfahren für die Gleichungen \(7x + 32y = 13\) und \(9x + 8y = 83\) anzuwenden, folge diesen Schritten: 1. **Eine der Gleichungen nach einer Variablen umstellen**: Wir nehmen die erste Gleichung und lösen sie nach \(y\) auf. \[ 7x + 32y = 13 \implies 32y = 13 - 7x \implies y = \frac{13 - 7x}{32} \] 2. **Den Ausdruck für \(y\) in die zweite Gleichung einsetzen**: \[ 9x + 8\left(\frac{13 - 7x}{32}\right) = 83 \] Multipliziere die gesamte Gleichung mit 32, um die Brüche zu eliminieren: \[ 32 \cdot 9x + 8(13 - 7x) = 32 \cdot 83 \] Das ergibt: \[ 288x + 104 - 56x = 2656 \] Vereinfache die Gleichung: \[ 232x + 104 = 2656 \] Subtrahiere 104 von beiden Seiten: \[ 232x = 2552 \] Teile durch 232: \[ x = \frac{2552}{232} = 11 \] 3. **Setze \(x\) in die Gleichung für \(y\) ein**: \[ y = \frac{13 - 7 \cdot 11}{32} = \frac{13 - 77}{32} = \frac{-64}{32} = -2 \] 4. **Lösung**: Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = 11, \quad y = -2 \] Die Lösung ist also \( (x, y) = (11, -2) \).

Um das Gleichsetzungsverfahren für die Gleichungen \(6y = 3x - 2\) und \(2y = 2x + 2\) anzuwenden, folge diesen Schritten: 1. **Umformen der Gleichungen**: Zuerst forme beide Gleichungen so um, dass \(y\) auf einer Seite steht. Für die erste Gleichung: \[ 6y = 3x - 2 \implies y = \frac{3x - 2}{6} \implies y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{3} \] Für die zweite Gleichung: \[ 2y = 2x + 2 \implies y = x + 1 \] 2. **Gleichsetzen der beiden \(y\)-Werte**: Setze die beiden Ausdrücke für \(y\) gleich: \[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{3} = x + 1 \] 3. **Lösen der Gleichung**: Multipliziere die gesamte Gleichung mit 6, um die Brüche zu eliminieren: \[ 6\left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}\right) = 6(x + 1) \] \[ 3x - 2 = 6x + 6 \] Bringe alle \(x\)-Terme auf eine Seite: \[ 3x - 6x = 6 + 2 \] \[ -3x = 8 \implies x = -\frac{8}{3} \] 4. **Einsetzen des \(x\)-Wertes in eine der Gleichungen**: Setze \(x = -\frac{8}{3}\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \(y\) zu finden. Wir verwenden die zweite Gleichung: \[ y = x + 1 = -\frac{8}{3} + 1 = -\frac{8}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{5}{3} \] 5. **Lösung**: Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ \left(x, y\right) = \left(-\frac{8}{3}, -\frac{5}{3}\right) \]

Um die Gleichungen (1) und (2) im Gleichsetzungsverfahren zu lösen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Gleichungen aufstellen:** - (1) \( 5x = y + 18 \) - (2) \( 3y + 4 = 5x \) 2. **Umformen der ersten Gleichung nach \( y \):** \[ y = 5x - 18 \] 3. **Einsetzen von \( y \) in die zweite Gleichung:** Ersetze \( y \) in (2): \[ 3(5x - 18) + 4 = 5x \] 4. **Ausmultiplizieren:** \[ 15x - 54 + 4 = 5x \] \[ 15x - 50 = 5x \] 5. **Umstellen der Gleichung:** \[ 15x - 5x = 50 \] \[ 10x = 50 \] 6. **Lösen nach \( x \):** \[ x = 5 \] 7. **Einsetzen von \( x \) in die Gleichung für \( y \):** Setze \( x = 5 \) in die umgeformte Gleichung für \( y \) ein: \[ y = 5(5) - 18 \] \[ y = 25 - 18 \] \[ y = 7 \] 8. **Lösung:** Die Lösung des Gleichungssystems ist \( x = 5 \) und \( y = 7 \).

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, setzt man die beiden Gleichungen gleich, da beide den gleichen Wert für \( y \) haben. Die beiden Gleichungen sind: 1. \( y = 8x + 3 \) 2. \( y = 2x - 9 \) Setze die beiden Ausdrücke für \( y \) gleich: \[ 8x + 3 = 2x - 9 \] Nun löse die Gleichung nach \( x \) auf: 1. Subtrahiere \( 2x \) von beiden Seiten: \[ 8x - 2x + 3 = -9 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 6x + 3 = -9 \] 2. Subtrahiere 3 von beiden Seiten: \[ 6x = -12 \] 3. Teile beide Seiten durch 6: \[ x = -2 \] Jetzt setze \( x = -2 \) in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein, um \( y \) zu finden. Wir verwenden die erste Gleichung: \[ y = 8(-2) + 3 \] Das ergibt: \[ y = -16 + 3 = -13 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also: \[ x = -2 \] und \( y = -13 \] Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist \((-2, -13)\).