Was ist das lineare Gleichsetzungsverfahren?

Das lineare Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Dabei werden zwei oder mehr Gleichungen betrachtet, die dieselben Variablen enthalten. Der grundlegende Ansatz besteht darin, eine der Gleichungen nach einer Variablen umzustellen und diese dann in die andere(n) Gleichung(en) einzusetzen. Hier sind die Schritte im Detail:

1. **Gleichungen aufstellen**: Beginne mit einem System von linearen Gleichungen, z.B.:
\[
\begin{align*}
1. & \quad 2x + 3y = 6 \\
2. & \quad x - y = 2
\end{align*}
\]

2. **Eine Gleichung umstellen**: Wähle eine der Gleichungen und stelle sie nach einer Variablen um. Zum Beispiel aus der zweiten Gleichung:
\[
x = y + 2
\]

3. **Einsetzen**: Setze den Ausdruck für die umgestellte Variable in die andere Gleichung ein. In diesem Fall:
\[
2(y + 2) + 3y = 6
\]

4. **Lösen**: Löse die resultierende Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf:
\[
2y + 4 + 3y = 6 \\
5y + 4 = 6 \\
5y = 2 \\
y = \frac{2}{5}
\]

5. **Rücksubstitution**: Setze den gefundenen Wert in die umgestellte Gleichung ein, um die andere Variable zu berechnen:
\[
x = \frac{2}{5} + 2 = \frac{2}{5} + \frac{10}{5} = \frac{12}{5}
\]

6. **Lösung**: Die Lösung des Gleichungssystems ist somit:
\[
x = \frac{12}{5}, \quad y = \frac{2}{5}
\]

Das lineare Gleichsetzungsverfahren ist besonders nützlich, wenn die Gleichungen einfach umgestellt werden können und die Variablen klar erkennbar sind.