Löse die Gleichungen 6y = 3x - 2 und 2y = 2x + 2 mit dem Gleichsetzungsverfahren.

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, müssen wir die beiden Gleichungen so umformen, dass wir eine der Variablen gleichsetzen können.

Die beiden Gleichungen sind:

1. \( 6y = 3x - 2 \)
2. \( 2y = 2x + 2 \)

Zuerst formen wir beide Gleichungen nach \( y \) um:

1. \( y = \frac{3x - 2}{6} \) oder vereinfacht \( y = \frac{x}{2} - \frac{1}{3} \)
2. \( y = x + 1 \)

Jetzt setzen wir die beiden Ausdrücke für \( y \) gleich:

\[
\frac{x}{2} - \frac{1}{3} = x + 1
\]

Um die Gleichung zu lösen, multiplizieren wir alles mit 6, um die Brüche zu eliminieren:

\[
6 \left( \frac{x}{2} \right) - 6 \left( \frac{1}{3} \right) = 6(x + 1)
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
3x - 2 = 6x + 6
\]

Nun bringen wir alle \( x \)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite:

\[
3x - 6x = 6 + 2
\]

Das ergibt:

\[
-3x = 8
\]

Teilen wir durch -3:

\[
x = -\frac{8}{3}
\]

Jetzt setzen wir \( x \) in eine der beiden Gleichungen ein, um \( y \) zu finden. Wir verwenden die zweite Gleichung:

\[
y = x + 1 = -\frac{8}{3} + 1 = -\frac{8}{3} + \frac{3}{3} = -\frac{5}{3}
\]

Die Lösung des Gleichungssystems ist:

\[
x = -\frac{8}{3}, \quad y = -\frac{5}{3}
\]

Das Ergebnis ist also \( \left( -\frac{8}{3}, -\frac{5}{3} \right) \).