Beim Lösen von Potenzgleichungen unterscheidet man in welchen Fällen?

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Beim Lösen von Potenzgleichungen unterscheidet man in welchen Fällen?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie löse ich die Gleichung 1a :(2^(-1/2) * a + 1^(-1/2)) nach a auf?

Accepted Answer

Beim Lösen von Potenzgleichungen unterscheidet man in mehreren Fällen: 1. **Gleiche Basen**: Wenn die Basen der Potenzen gleich sind, kann man die Exponenten gleichsetzen. Beispiel: \( a^x = a^y \) führt zu \( x = y \), vorausgesetzt \( a \neq 0 \) und \( a \neq 1 \). 2. **Unterschiedliche Basen**: Hier kann man logarithmische Methoden verwenden. Beispiel: \( a^x = b^y \) kann durch Anwendung des Logarithmus auf beide Seiten gelöst werden. 3. **Potenzgleichungen mit Variablen im Exponenten**: Diese erfordern oft spezielle Techniken, wie das Umformen oder die Anwendung von Logarithmen. Beispiel: \( 2^x = 3 \) wird durch \( x = \log_2(3) \) gelöst. 4. **Negative und gebrochene Exponenten**: Hier muss man darauf achten, dass die Basis positiv ist, um reale Lösungen zu finden. 5. **Spezielle Fälle**: Wenn die Gleichung eine Form wie \( x^n = k \) hat, wobei \( n \) eine gerade Zahl ist, muss man die Wurzel ziehen und die möglichen positiven und negativen Lösungen berücksichtigen. Diese Unterscheidungen helfen, die geeigneten Lösungsansätze für verschiedene Arten von Potenzgleichungen zu wählen.

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] nach \( a \) auflösen möchtest. **Schritt 1: Schreibe die Gleichung auf** \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] **Schritt 2: Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren** \[ a = 2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2} \] **Schritt 3: Alle Terme mit \( a \) auf eine Seite bringen** \[ a - 2^{-1/2} \cdot a = 1^{-1/2} \] \[ a (1 - 2^{-1/2}) = 1^{-1/2} \] **Schritt 4: Nach \( a \) auflösen** \[ a = \frac{1^{-1/2}}{1 - 2^{-1/2}} \] **Schritt 5: Werte berechnen** - \( 1^{-1/2} = 1 \), weil jede Zahl hoch 0 ist 1 und jede Zahl hoch negativ ist der Kehrwert, aber 1 bleibt 1. - \( 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) Also: \[ a = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \] **Schritt 6: Bruch vereinfachen** \[ a = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} \] \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \] **Optional: Bruch rationalisieren** \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \] **Endergebnis:** \[ a = 2 + \sqrt{2} \] Das ist die Lösung für \( a \).