Art des Vierecks rechnerisch prüfen: A(1|2|3), B(-2|7,5|1), C(-1|8|-5), D(2|-0,5|-3)

Um die Art des Vierecks rechnerisch zu prüfen, kannst du die Längen der Seiten und die Längen der Diagonalen berechnen. Die Punkte A, B, C und D sind gegeben als:

- A(1|2|3)
- B(-2|7,5|1)
- C(-1|85)
- D2|-0,3)

1.Berechnung der Seitenlängen:**

Die Länge einer Strecke zwischen zwei Punkten \( P(x_1|y_1|z_1) \) und \( Q(x_2|y_2|z_2) \) wird mit der Formel berechnet:

\[
d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
\]

Berechne die Längen der Seiten AB, BC, CD und DA:

- **AB:**
\[
d(A, B) = \sqrt{((-2) - 1)^2 + (7,5 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (,5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 30,25 + 4} = \sqrt{43,25}
\]

- **BC:**
\[
d(B, C) = \sqrt{((-1) - (-2))^2 + (8 - 7,5)^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(1)^2 + (,5)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 0,25 + 36} = \sqrt{37,25}
\]

- **CD:**
\[
d(C, D) = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-0,5 - 8)^2 + (-3 - (-5))^2} = \sqrt{(3)^2 + (-,5)^2 + (2)^2} = \sqrt{9 + 72,25 + 4} = \sqrt{85,25}
\]

- **DA:**
\[
d(D, A) = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - (-0,5))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{(-1)^2 + (,5)^2 + (6)^2} = \sqrt{1 + 6,25 + 36} = \sqrt{43,25}
\]

2. **Berechnung der Diagonalen:**

Berechne die Längen der Diagonalen AC und BD:

- **AC:**
\[
d(A, C) = \sqrt{((-1) - 1)^2 + (8 - 2)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2 (-8)^2} = \sqrt{4 + 36 + 64} = \sqrt{104}
\]

- **BD:**
\[
d(B, D) = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-0,5 - 7,5)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 64 + 16} = \sqrt{96}
\]

3. **Analyse der Ergebnisse:**

- Die Längen der Seiten sind:
- AB = \( \sqrt{43,25} \)
- BC = \( \sqrt{37,25} \)
- CD = \( \sqrt{85,25} \)
- DA = \( \sqrt{43,25} \)

- Die Längen der Diagonalen sind:
- AC = \( \sqrt{104} \)
- BD = \( \sqrt{96} \)

4. **Bestimmung der Art des Vierecks:**

- Wenn die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind (AB = CD und BC = DA), handelt es sich um ein Parallelogramm.
- Wenn zusätzlich die Diagonalen gleich lang sind, handelt es sich um ein Rechteck.
- Wenn alle Seiten gleich lang sind, handelt es sich um ein Quadrat.

In diesem Fall sind die Seiten nicht gleich, und die Diagonalen sind ebenfalls nicht gleich. Daher handelt es sich um ein allgemeines Viereck.