39 Fragen zu Cos

Das erste Additionstheorem für den Kosinus lautet: \[ \cos(x_1 \pm x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) \mp \sin(x_1) \sin(x_2) \] Um dies zu zeigen, können wir die Definitionen der trigonometrischen Funktionen und die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwenden. 1. **Additionstheorem für den Kosinus:** \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] 2. **Additionstheorem für den Sinus:** \[ \sin(x_1 + x_2) = \sin(x_1) \cos(x_2) + \cos(x_1) \sin(x_2) \] \[ \sin(x_1 - x_2) = \sin(x_1) \cos(x_2) - \cos(x_1) \sin(x_2) \] Nun zeigen wir die Gültigkeit des ersten Additionstheorems für den Kosinus: ### Für \(\cos(x_1 + x_2)\): Betrachte die Definition des Kosinus für die Summe zweier Winkel: \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] Dies ist direkt das Additionstheorem für den Kosinus, das wir beweisen wollen. ### Für \(\cos(x_1 - x_2)\): Betrachte die Definition des Kosinus für die Differenz zweier Winkel: \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] Auch dies ist direkt das Additionstheorem für den Kosinus, das wir beweisen wollen. ### Zusammenfassung: Die beiden Formeln \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] und \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] zeigen, dass das erste Additionstheorem für den Kosinus gilt: \[ \cos(x_1 \pm x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) \mp \sin(x_1) \sin(x_2) \] Damit ist die Gültigkeit des ersten Additionstheorems für den Kosinus bewiesen.

Um die Differentialgleichung \( y' \cos(2x) - 2y \sin(2x) = \sin(2x) \cos(2x) \) zu lösen, kann man die Methode der Trennung der Variablen oder eine geeignete Substitution verwenden. Hier ist ein möglicher Ansatz: 1. **Umformen der Gleichung:** \[ y' \cos(2x) - 2y \sin(2x) = \sin(2x) \cos(2x) \] Teile beide Seiten durch \(\cos(2x)\): \[ y' - 2y \tan(2x) = \sin(2x) \] 2. **Substitution:** Setze \( u = \tan(2x) \), dann ist \( du = 2 \sec^2(2x) dx \). Die Gleichung wird zu: \[ y' - 2yu = \sin(2x) \] 3. **Lösen der homogenen Gleichung:** Betrachte die homogene Gleichung \( y' - 2yu = 0 \): \[ \frac{dy}{dx} = 2yu \] Trenne die Variablen: \[ \frac{dy}{y} = 2u \, dx \] Integriere beide Seiten: \[ \ln|y| = \int 2u \, dx \] Da \( u = \tan(2x) \), ist \( du = 2 \sec^2(2x) dx \), also \( dx = \frac{du}{2 \sec^2(2x)} \). Dies führt zu einer komplizierten Integration, die hier nicht weiter verfolgt wird. Stattdessen kann man die Lösung der homogenen Gleichung direkt annehmen: \[ y_h = C e^{\int 2u \, dx} \] 4. **Partikuläre Lösung:** Für die partikuläre Lösung \( y_p \), setze eine geeignete Funktion ein, z.B. \( y_p = A \sin(2x) \). Setze \( y_p \) in die ursprüngliche Gleichung ein und bestimme \( A \). 5. **Allgemeine Lösung:** Die allgemeine Lösung ist die Summe der homogenen und partikulären Lösung: \[ y = y_h + y_p \] Dies ergibt: \[ y = C e^{\int 2u \, dx} + A \sin(2x) \] Die genaue Form der Lösung hängt von der Integration und der Bestimmung der Konstanten ab. Für eine detaillierte Lösung und weitere Schritte wäre es hilfreich, die Integration und die Bestimmung der Konstanten explizit durchzuführen.

Um den Ausdruck \( \cos(-x + \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) \) zu vereinfachen, kannst du die Eigenschaft der Kosinusfunktion nutzen, dass \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \). Das bedeutet: \[ \cos(-x + \frac{\pi}{6}) = \cos(x - \frac{\pi}{6}) \] Somit wird der Ausdruck zu: \[ \cos(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) \] Jetzt kannst du die Differenz der Kosinusfunktionen mit der Formel für die Differenz von Kosinus verwenden: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \] Setze \( A = x - \frac{\pi}{6} \) und \( B = x + \frac{\pi}{6} \): 1. \( A + B = (x - \frac{\pi}{6}) + (x + \frac{\pi}{6}) = 2x \) 2. \( A - B = (x - \frac{\pi}{6}) - (x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3} \) Setze diese Werte in die Formel ein: \[ \cos(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) = -2 \sin\left(\frac{2x}{2}\right) \sin\left(\frac{-\frac{\pi}{3}}{2}\right) \] Das vereinfacht sich zu: \[ -2 \sin(x) \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \] Da \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \), ergibt sich: \[ -2 \sin(x) \left(-\frac{1}{2}\right) = \sin(x) \] Somit ist die vereinfachte Form des ursprünglichen Ausdrucks: \[ \sin(x) \]

Um den Wert von α im Intervall [0°; 90°] zu bestimmen, der die Gleichung \( \cos(176°) = -\cos(\alpha) \) erfüllt, gehen wir wie folgt vor: 1. Berechne \( \cos(176°) \): \[ \cos(176°) = -\cos(4°) \quad (\text{da } \cos(180° - x) = -\cos(x)) \] 2. Setze dies in die Gleichung ein: \[ -\cos(4°) = -\cos(\alpha) \] 3. Daraus folgt: \[ \cos(4°) = \cos(\alpha) \] 4. Im Intervall [0°; 90°] ist die Lösung für \( \alpha \): \[ \alpha = 4° \] Somit ist der gesuchte Wert von α: \( 4° \).

Um den Ausdruck \( \cos(-x + \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) \) zu vereinfachen, kannst du die Eigenschaft der Kosinusfunktion nutzen, dass \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \). Das bedeutet: \[ \cos(-x + \frac{\pi}{6}) = \cos(x - \frac{\pi}{6}) \] Somit wird der Ausdruck: \[ \cos(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) \] Jetzt kannst du die Differenz der Kosinusfunktionen mit der Formel für die Differenz von Kosinus verwenden: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \] Setze \( A = x - \frac{\pi}{6} \) und \( B = x + \frac{\pi}{6} \): 1. Berechne \( A + B \): \[ A + B = (x - \frac{\pi}{6}) + (x + \frac{\pi}{6}) = 2x \] 2. Berechne \( A - B \): \[ A - B = (x - \frac{\pi}{6}) - (x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3} \] Setze diese Werte in die Formel ein: \[ \cos(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) = -2 \sin\left(\frac{2x}{2}\right) \sin\left(\frac{-\frac{\pi}{3}}{2}\right) \] Das vereinfacht sich zu: \[ -2 \sin(x) \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \] Da \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \), wird das zu: \[ -2 \sin(x) \left(-\frac{1}{2}\right) = \sin(x) \] Somit ist die vereinfachte Form des ursprünglichen Ausdrucks: \[ \sin(x) \]

Um den Ausdruck \( \cos(-x + \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) \) zu vereinfachen, können wir die Eigenschaft der Kosinusfunktion nutzen, dass \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \). Das bedeutet: \[ \cos(-x + \frac{\pi}{6}) = \cos(x - \frac{\pi}{6}) \] Somit wird der Ausdruck: \[ \cos(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) \] Jetzt können wir die Differenz der Kosinusfunktionen mit der Formel für die Differenz von Kosinus verwenden: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \] Setze \( A = x - \frac{\pi}{6} \) und \( B = x + \frac{\pi}{6} \): 1. \( A + B = (x - \frac{\pi}{6}) + (x + \frac{\pi}{6}) = 2x \) 2. \( A - B = (x - \frac{\pi}{6}) - (x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3} \) Setze diese Werte in die Formel ein: \[ \cos(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) = -2 \sin\left(\frac{2x}{2}\right) \sin\left(\frac{-\frac{\pi}{3}}{2}\right) \] Das vereinfacht sich zu: \[ -2 \sin(x) \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \] Da \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \), erhalten wir: \[ -2 \sin(x) \left(-\frac{1}{2}\right) = \sin(x) \] Somit ist die vereinfachte Form des ursprünglichen Ausdrucks: \[ \cos(-x + \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) = \sin(x) \]

Ähnliche Marken wie COS, die für ihren minimalistischen und zeitlosen Stil bekannt sind, sind unter anderem: 1. **& Other Stories** - Bietet eine ähnliche Ästhetik mit einem Fokus auf moderne Designs. 2. **Uniqlo** - Bekannt für seine schlichten, funktionalen Kleidungsstücke zu erschwinglichen Preisen. 3. **Everlane** - Legt Wert auf Transparenz und nachhaltige Produktion, mit einem klaren, minimalistischen Design. 4. **Arket** - Teil der H&M-Gruppe, bietet hochwertige Basics und zeitlose Mode. 5. **Muji** - Bekannt für seine schlichten Designs und funktionalen Produkte, auch im Bekleidungsbereich. Diese Marken teilen oft ähnliche Designphilosophien und Zielgruppen wie COS.

Um die Blindleistung \( Q \) aus der Wirkleistung \( P \) und dem Leistungsfaktor \( \cos \phi \) zu berechnen, kannst du die folgende Formel verwenden: \[ Q = P \cdot \tan(\phi) \] Dabei ist \( \tan(\phi) \) der Tangens des Phasenwinkels \( \phi \), der sich aus dem Leistungsfaktor ergibt: \[ \cos \phi = \frac{P}{S} \] Hierbei ist \( S \) die Scheinleistung, die sich aus der Beziehung \( S = \sqrt{P^2 + Q^2} \) ergibt. Um \( Q \) zu berechnen, kannst du auch die Beziehung zwischen \( P \), \( Q \) und \( S \) nutzen: \[ S = \frac{P}{\cos \phi} \] Dann kannst du \( Q \) berechnen, indem du die Scheinleistung \( S \) in die Gleichung für \( Q \) einsetzt: \[ Q = \sqrt{S^2 - P^2} \] Zusammengefasst: Du kannst \( Q \) berechnen, indem du zuerst \( S \) mit \( P \) und \( \cos \phi \) berechnest und dann die oben genannte Beziehung verwendest.

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = -2 \cdot \cos(x) \) kann mit den Regeln der Differenzialrechnung bestimmt werden. Die Ableitungsregel für den Kosinus lautet: \[ \frac{d}{dx} [\cos(x)] = -\sin(x) \] Angewendet auf die Funktion \( f(x) = -2 \cdot \cos(x) \), ergibt sich: \[ f'(x) = -2 \cdot \frac{d}{dx} [\cos(x)] = -2 \cdot (-\sin(x)) = 2 \sin(x) \] Die Ableitung von \( f(x) = -2 \cdot \cos(x) \) ist also: \[ f'(x) = 2 \sin(x) \]

Um die Ableitungsfunktion von \( \sqrt{5} \cdot \cos(x) \) zu bestimmen, kannst du die Regel für die Ableitung von Konstanten und die Ableitung der Kosinusfunktion verwenden. 1. Die Konstante \( \sqrt{5} \) bleibt unverändert. 2. Die Ableitung von \( \cos(x) \) ist \( -\sin(x) \). Daher ist die Ableitung von \( \sqrt{5} \cdot \cos(x) \): \[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{5} \cdot \cos(x) \right) = \sqrt{5} \cdot \frac{d}{dx} \left( \cos(x) \right) = \sqrt{5} \cdot (-\sin(x)) = -\sqrt{5} \cdot \sin(x) \] Die Ableitungsfunktion ist also: \[ -\sqrt{5} \cdot \sin(x) \]

Um die Winkel \( x \) im Bogenmaß zu ermitteln, für die \( \cos(x) = -0,4 \) und \( 0 < x < 2\pi \) gilt, kannst du die Umkehrfunktion des Kosinus, den Arkuskosinus (\(\arccos\)), verwenden. Beachte, dass der Kosinus in zwei Bereichen negativ ist: im zweiten und im dritten Quadranten. 1. Berechne den Hauptwert des Arkuskosinus: \[ x_1 = \arccos(-0,4) \] 2. Da der Kosinusfunktion symmetrisch ist, gibt es zwei Lösungen im Intervall \( 0 < x < 2\pi \): - Eine im zweiten Quadranten: \( x_1 = \pi - \arccos(0,4) \) - Eine im dritten Quadranten: \( x_2 = \pi + \arccos(0,4) \) Die genauen Werte kannst du mit einem Taschenrechner oder einer Software berechnen: \[ x_1 = \pi - \arccos(0,4) \approx 1,9823 \] \[ x_2 = \pi + \arccos(0,4) \approx 4,3009 \] Also sind die Winkel \( x \) im Bogenmaß, die die Bedingung \( \cos(x) = -0,4 \) erfüllen und im Intervall \( 0 < x < 2\pi \) liegen, ungefähr: \[ x_1 \approx 1,9823 \] \[ x_2 \approx 4,3009 \]

Um die gewünschten elektrischen Größen für die beiden Kondensatormotoren zu berechnen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Strom (I)**: Der Strom ist bereits gegeben: \( I = 11 \, \text{A} \). 2. **Leistung (P)**: Die Wirkleistung \( P \) kann mit der Formel \( P = U \cdot I \cdot \cos \varphi \) berechnet werden. - \( U = 230 \, \text{V} \) - \( I = 11 \, \text{A} \) - \( \cos \varphi = 0,95 \) \[ P = 230 \, \text{V} \cdot 11 \, \text{A} \cdot 0,95 = 2404,5 \, \text{W} \] 3. **Blindleistung (Q)**: Die Blindleistung \( Q \) kann mit der Formel \( Q = U \cdot I \cdot \sin \varphi \) berechnet werden. Zuerst muss der Phasenwinkel \(\varphi\) berechnet werden: - \( \cos \varphi = 0,95 \) - \(\varphi = \arccos(0,95) \approx 18,19^\circ\) Dann: - \( \sin \varphi = \sin(18,19^\circ) \approx 0,312 \) \[ Q = 230 \, \text{V} \cdot 11 \, \text{A} \cdot 0,312 \approx 789,36 \, \text{var} \] 4. **Phasenwinkel (\(\varphi\))**: Der Phasenwinkel wurde bereits berechnet: - \(\varphi = \arccos(0,95) \approx 18,19^\circ\) Da es sich um zwei Motoren handelt, müssen die Werte für die Gesamtleistung und die Gesamtblindleistung verdoppelt werden: - **Gesamtleistung (P\(_\text{gesamt}\))**: \[ P_\text{gesamt} = 2 \cdot 2404,5 \, \text{W} = 4809 \, \text{W} \] - **Gesamtblindleistung (Q\(_\text{gesamt}\))**: \[ Q_\text{gesamt} = 2 \cdot 789,36 \, \text{var} = 1578,72 \, \text{var} \] Zusammengefasst: - Strom pro Motor: \( 11 \, \text{A} \) - Gesamtleistung: \( 4809 \, \text{W} \) - Gesamtblindleistung: \( 1578,72 \, \text{var} \) - Phasenwinkel: \( 18,19^\circ \)

Der Verschiebungsfaktor \( \cos \varphi \) gibt an, wie groß der Phasenwinkel \( \varphi \) zwischen Strom und Spannung ist. In diesem Fall ist \( \cos \varphi = 0,7 \). Um den Phasenwinkel \( \varphi \) zu bestimmen, verwendet man die Umkehrfunktion des Kosinus, also den Arkuskosinus (auch bekannt als \(\arccos\) oder \(\cos^{-1}\)): \[ \varphi = \arccos(0,7) \] Nun berechnet man den Winkel: \[ \varphi \approx \arccos(0,7) \approx 45,57^\circ \] Das bedeutet, dass Strom und Spannung um etwa 45,57 Grad verschoben sind.

Um die gewünschten Werte zu berechnen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Gesamtleistung (P)**: Die Gesamtleistung der 35 LED-Lampen beträgt: \[ P = 35 \text{ Lampen} \times 10 \text{ W/Lampe} = 350 \{ W} \] 2. **Scheinleistung (S)**: Die Scheinleistung kann mit der Formel \( S = \frac{P}{\cos \phi} \) berechnet werden. Der Leistungsfaktor (\(\cos \phi\)) ist 0,4. \[ S = \frac{350 \text{ W}}{0,4} = 875 \text{ VA} \] 3. **Blindleistung (Q)**: Die Blindleistung kann mit der Formel \( Q = S \sin \phi \) berechnet werden. Zuerst muss der Phasenwinkel (\(\phi\)) berechnet werden: \[ \cos \phi = 0,4 \implies \phi = \cos^{-1}(0,4) \approx 66,42^\circ \] Dann die Blindleistung: \[ Q = 875 \text{ VA} \times \sin(66,42^\circ) \approx 875 \text{ VA} \times 0,92 \approx 805 \text{ var} \] 4. **Strom (I)**: Der Strom kann mit der Formel \( I = \frac{S}{U} \) berechnet werden, wobei \( U = 230 \text{ V} \) ist. \[ I = \frac{875 \text{ VA}}{230 \text{ V}} \approx 3,80 \text{ A} \] Zusammengefasst: - **Strom (I)**: ca. 3,80 A **Leistung (P)**: 350 W - **Blind (Q)**: ca. 805 var - **Phasen (\(\phi\))**: ca. 66,42°

Es gibt einige Tricks und Merkhilfen, um sich die Werte der trigonometrischen Funktionen Sinus (sin), Kosinus (cos) und Tangens (tan) für bestimmte Winkel zu merken. Hier sind einige davon: 1. **Einheitskreis**: Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1, der im Koordinatensystem zentriert ist. Die x-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis entspricht dem Kosinus des Winkels, und die y-Koordinate entspricht dem Sinus des Winkels. Der Tangens des Winkels ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus (tan = sin/cos). 2. **Wichtige Winkel**: Für die Winkel 0°, 30°, 45°, 60° und 90° gibt es einfache Werte: - sin(0°) = 0, cos(0°) = 1, tan(0°) = 0 - sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = 1/√3 - sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1 - sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3 - sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) ist nicht definiert 3. **Fingertrick**: Für die Winkel 0°, 30°, 45°, 60° und 90° kann man die Finger der Hand benutzen: - Halte die Hand mit der Handfläche zu dir. - Nummeriere die Finger von links nach rechts mit 0, 30, 45, 60 und 90 Grad. - Für den Sinus eines Winkels, zähle die Finger links vom gewünschten Winkel und nimm die Quadratwurzel davon, geteilt durch 2. - Für den Kosinus eines Winkels, zähle die Finger rechts vom gewünschten Winkel und nimm die Quadratwurzel davon, geteilt durch 2. Beispiel für 45°: - Sinus: Es gibt 2 Finger links vom 45°-Finger. √2/2 = √2/2. - Kosinus: Es gibt 2 Finger rechts vom 45°-Finger. √2/2 = √2/2. 4. **Tangens**: Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus. Wenn du die Werte für Sinus und Kosinus kennst, kannst du den Tangens leicht berechnen. Diese Tricks und Merkhilfen können helfen, die grundlegenden Werte der trigonometrischen Funktionen schnell zu bestimmen.