3 Fragen zu Additionstheorem

Das erste Additionstheorem für den Kosinus lautet: \[ \cos(x_1 \pm x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) \mp \sin(x_1) \sin(x_2) \] Um dies zu zeigen, können wir die Definitionen der trigonometrischen Funktionen und die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwenden. 1. **Additionstheorem für den Kosinus:** \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] 2. **Additionstheorem für den Sinus:** \[ \sin(x_1 + x_2) = \sin(x_1) \cos(x_2) + \cos(x_1) \sin(x_2) \] \[ \sin(x_1 - x_2) = \sin(x_1) \cos(x_2) - \cos(x_1) \sin(x_2) \] Nun zeigen wir die Gültigkeit des ersten Additionstheorems für den Kosinus: ### Für \(\cos(x_1 + x_2)\): Betrachte die Definition des Kosinus für die Summe zweier Winkel: \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] Dies ist direkt das Additionstheorem für den Kosinus, das wir beweisen wollen. ### Für \(\cos(x_1 - x_2)\): Betrachte die Definition des Kosinus für die Differenz zweier Winkel: \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] Auch dies ist direkt das Additionstheorem für den Kosinus, das wir beweisen wollen. ### Zusammenfassung: Die beiden Formeln \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] und \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] zeigen, dass das erste Additionstheorem für den Kosinus gilt: \[ \cos(x_1 \pm x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) \mp \sin(x_1) \sin(x_2) \] Damit ist die Gültigkeit des ersten Additionstheorems für den Kosinus bewiesen.

Um die Gleichung \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) mit dem Additionstheorem und den Rechenregeln für Sinus und Cosinus zu zeigen, können wir die Identität für den Cosinus des Doppelwinkels verwenden. Das Additionstheorem für den Cosinus lautet: \[ \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \] Für den Doppelwinkel \( 2x \) setzen wir \( a = x \) und \( b = x \) ein: \[ \cos(2x) = \cos(x + x) = \cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \] Nun verwenden wir die Pythagoreische Identität \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \), um \( \cos^2(x) \) auszudrücken: \[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \] Setzen wir dies in die Gleichung für \( \cos(2x) \) ein: \[ \cos(2x) = (1 - \sin^2(x)) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x) \] Damit haben wir gezeigt, dass: \[ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \] Diese Identität ist somit bewiesen.

Um \(\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)\) mit Hilfe der Additionstheoreme bestimmen, können wir \(\frac{5\pi}{4}\) als \(\frac{\pi}{4} + \pi\) schreiben. Das Additionstheorem für den Tangens lautet: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \] Setzen wir \(a = \frac{\pi}{4}\) und \(b = \pi\): 1. Berechne \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\): \[ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \] 2. Berechne \(\tan(\pi)\): \[ \tan(\pi) = 0 \] Jetzt setzen wir die Werte in das Additionstheorem ein: \[ \tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4} + \pi\right) = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan(\pi)}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan(\pi)} = \frac{1 + 0}{1 - 1 \cdot 0} = \frac{1}{1} = 1 \] Da \(\frac{5\pi}{4}\) im dritten Quadranten liegt, wo der Tangens positiv ist, ist das Ergebnis: \[ \tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = 1 \]