Um den Sinus von Alpha (α) in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, verwendet man die Formel: \[ \sin(α) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \] In deinem Fall ist die Ge... [mehr]
cos 2x = 1 - 2sin^2 x mit Additionstheorem und Sinus- und Cosinus-Rechenregeln zeigen?
AntwortUm die Gleichung \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) mit dem Additionstheorem und den Rechenregeln für Sinus und Cosinus zu zeigen, können wir die Identität für den Cosinus des Doppelwinkels verwenden. Das Additionstheorem für den Cosinus lautet: \[ \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \] Für den Doppelwinkel \( 2x \) setzen wir \( a = x \) und \( b = x \) ein: \[ \cos(2x) = \cos(x + x) = \cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \] Nun verwenden wir die Pythagoreische Identität \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \), um \( \cos^2(x) \) auszudrücken: \[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \] Setzen wir dies in die Gleichung für \( \cos(2x) \) ein: \[ \cos(2x) = (1 - \sin^2(x)) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x) \] Damit haben wir gezeigt, dass: \[ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \] Diese Identität ist somit bewiesen.
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