Bestimme tan(5pi/4) mit Additionstheoremen.

Um \(\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)\) mit Hilfe der Additionstheoreme bestimmen, können wir \(\frac{5\pi}{4}\) als \(\frac{\pi}{4} + \pi\) schreiben.

Das Additionstheorem für den Tangens lautet:

\[
\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)}
\]

Setzen wir \(a = \frac{\pi}{4}\) und \(b = \pi\):

1. Berechne \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\):
\[
\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1
\]

2. Berechne \(\tan(\pi)\):
\[
\tan(\pi) = 0
\]

Jetzt setzen wir die Werte in das Additionstheorem ein:

\[
\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4} + \pi\right) = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan(\pi)}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan(\pi)} = \frac{1 + 0}{1 - 1 \cdot 0} = \frac{1}{1} = 1
\]

Da \(\frac{5\pi}{4}\) im dritten Quadranten liegt, wo der Tangens positiv ist, ist das Ergebnis:

\[
\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = 1
\]