Wie berechnet man den Schnittwinkel zwischen der Ebene 2x1 + x2 = 4 und der x1-x3-Ebene?

Um den Winkel zwischen der Ebene \( F: 2x_1 + x_2 = 4 \) und der \( x_1x_3 \)-Ebene zu berechnen, gehst du wie folgt vor:

**1. Bestimme die Normalenvektoren:**

- Die Ebene \( F \) hat die Gleichung \( 2x_1 + x_2 = 4 \). Der Normalenvektor ist also \( \vec{n}_F = (2, 1, 0) \).
- Die \( x_1x_3 \)-Ebene ist die Ebene mit \( x_2 = 0 \). Ihr Normalenvektor ist \( \vec{n}_{x_1x_3} = (0, 1, 0) \).

**2. Berechne den Winkel zwischen den Normalenvektoren:**

Der Kosinus des Winkels \( \alpha \) zwischen den Normalenvektoren ist:
\[
\cos\alpha = \frac{\vec{n}_F \cdot \vec{n}_{x_1x_3}}{|\vec{n}_F| \cdot |\vec{n}_{x_1x_3}|}
\]

Berechne das Skalarprodukt:
\[
\vec{n}_F \cdot \vec{n}_{x_1x_3} = (2, 1, 0) \cdot (0, 1, 0) = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1
\]

Beträge:
\[
|\vec{n}_F| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}
\]
\[
|\vec{n}_{x_1x_3}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1
\]

Setze ein:
\[
\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}
\]
\[
\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 63,43^\circ
\]

**3. Gesuchter Schnittwinkel:**

Der Schnittwinkel zwischen den Ebenen ist der Komplementärwinkel zu \( \alpha \), also:
\[
\beta = 90^\circ - \alpha \approx 26,57^\circ
\]

**Antwort:**
Die Ebene \( F \) schneidet die \( x_1x_3 \)-Ebene unter einem Winkel von etwa **26,57°**.