Zeige cos(x1 ±x2) = cos(x1)· cos(x2) ∓ sin(x1)·sin(x2) mit Additionstheorem.

Das erste Additionstheorem für den Kosinus lautet:

\[ \cos(x_1 \pm x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) \mp \sin(x_1) \sin(x_2) \]

Um dies zu zeigen, können wir die Definitionen der trigonometrischen Funktionen und die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwenden.

1. **Additionstheorem für den Kosinus:**

\[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \]

\[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \]

2. **Additionstheorem für den Sinus:**

\[ \sin(x_1 + x_2) = \sin(x_1) \cos(x_2) + \cos(x_1) \sin(x_2) \]

\[ \sin(x_1 - x_2) = \sin(x_1) \cos(x_2) - \cos(x_1) \sin(x_2) \]

Nun zeigen wir die Gültigkeit des ersten Additionstheorems für den Kosinus:

### Für \(\cos(x_1 + x_2)\):

Betrachte die Definition des Kosinus für die Summe zweier Winkel:

\[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \]

Dies ist direkt das Additionstheorem für den Kosinus, das wir beweisen wollen.

### Für \(\cos(x_1 - x_2)\):

Betrachte die Definition des Kosinus für die Differenz zweier Winkel:

\[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \]

Auch dies ist direkt das Additionstheorem für den Kosinus, das wir beweisen wollen.

### Zusammenfassung:

Die beiden Formeln

\[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \]

und

\[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \]

zeigen, dass das erste Additionstheorem für den Kosinus gilt:

\[ \cos(x_1 \pm x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) \mp \sin(x_1) \sin(x_2) \]

Damit ist die Gültigkeit des ersten Additionstheorems für den Kosinus bewiesen.