Die gesuchte Fläche unter \( f(x)=\cos(x)+2 \) im Intervall \( [-\pi,\,1] \) ist \[ A=\int{-\pi}^{1} (\cos(x)+2)\,dx \] Stammfunktion: \[ \int (\cos(x)+2)\,dx=\sin(x)+2x \] Grenzen einsetze...
Zeige cos(x1 ±x2) = cos(x1)· cos(x2) ∓ sin(x1)·sin(x2) mit Additionstheorem.
Antwort vomDas erste Additionstheorem für den Kosinus lautet: \[ \cos(x_1 \pm x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) \mp \sin(x_1) \sin(x_2) \] Um dies zu zeigen, können wir die Definitionen der trigonometrischen Funktionen und die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwenden. 1. **Additionstheorem für den Kosinus:** \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] 2. **Additionstheorem für den Sinus:** \[ \sin(x_1 + x_2) = \sin(x_1) \cos(x_2) + \cos(x_1) \sin(x_2) \] \[ \sin(x_1 - x_2) = \sin(x_1) \cos(x_2) - \cos(x_1) \sin(x_2) \] Nun zeigen wir die Gültigkeit des ersten Additionstheorems für den Kosinus: ### Für \(\cos(x_1 + x_2)\): Betrachte die Definition des Kosinus für die Summe zweier Winkel: \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] Dies ist direkt das Additionstheorem für den Kosinus, das wir beweisen wollen. ### Für \(\cos(x_1 - x_2)\): Betrachte die Definition des Kosinus für die Differenz zweier Winkel: \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] Auch dies ist direkt das Additionstheorem für den Kosinus, das wir beweisen wollen. ### Zusammenfassung: Die beiden Formeln \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] und \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] zeigen, dass das erste Additionstheorem für den Kosinus gilt: \[ \cos(x_1 \pm x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) \mp \sin(x_1) \sin(x_2) \] Damit ist die Gültigkeit des ersten Additionstheorems für den Kosinus bewiesen.
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