Um den Sinus von Alpha (α) in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, verwendet man die Formel: \[ \sin(α) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \] In deinem Fall ist die Ge... [mehr]
Zeige cos(x1 ±x2) = cos(x1)· cos(x2) ∓ sin(x1)·sin(x2) mit Additionstheorem.
AntwortDas erste Additionstheorem für den Kosinus lautet: \[ \cos(x_1 \pm x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) \mp \sin(x_1) \sin(x_2) \] Um dies zu zeigen, können wir die Definitionen der trigonometrischen Funktionen und die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwenden. 1. **Additionstheorem für den Kosinus:** \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] 2. **Additionstheorem für den Sinus:** \[ \sin(x_1 + x_2) = \sin(x_1) \cos(x_2) + \cos(x_1) \sin(x_2) \] \[ \sin(x_1 - x_2) = \sin(x_1) \cos(x_2) - \cos(x_1) \sin(x_2) \] Nun zeigen wir die Gültigkeit des ersten Additionstheorems für den Kosinus: ### Für \(\cos(x_1 + x_2)\): Betrachte die Definition des Kosinus für die Summe zweier Winkel: \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] Dies ist direkt das Additionstheorem für den Kosinus, das wir beweisen wollen. ### Für \(\cos(x_1 - x_2)\): Betrachte die Definition des Kosinus für die Differenz zweier Winkel: \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] Auch dies ist direkt das Additionstheorem für den Kosinus, das wir beweisen wollen. ### Zusammenfassung: Die beiden Formeln \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] und \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] zeigen, dass das erste Additionstheorem für den Kosinus gilt: \[ \cos(x_1 \pm x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) \mp \sin(x_1) \sin(x_2) \] Damit ist die Gültigkeit des ersten Additionstheorems für den Kosinus bewiesen.
