Vereinfache: cos(−x + π/6) − cos(x + π/6)?

Um den Ausdruck \( \cos(-x + \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) \) zu vereinfachen, kannst du die Eigenschaft der Kosinusfunktion nutzen, dass \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \).

Das bedeutet:

\[
\cos(-x + \frac{\pi}{6}) = \cos(x - \frac{\pi}{6})
\]

Somit wird der Ausdruck:

\[
\cos(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6})
\]

Jetzt kannst du die Differenz der Kosinusfunktionen mit der Formel für die Differenz von Kosinus verwenden:

\[
\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)
\]

Setze \( A = x - \frac{\pi}{6} \) und \( B = x + \frac{\pi}{6} \):

1. Berechne \( A + B \):

\[
A + B = (x - \frac{\pi}{6}) + (x + \frac{\pi}{6}) = 2x
\]

2. Berechne \( A - B \):

\[
A - B = (x - \frac{\pi}{6}) - (x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3}
\]

Setze diese Werte in die Formel ein:

\[
\cos(x - \frac{\pi}{6}) - \cos(x + \frac{\pi}{6}) = -2 \sin\left(\frac{2x}{2}\right) \sin\left(\frac{-\frac{\pi}{3}}{2}\right)
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
-2 \sin(x) \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)
\]

Da \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \), wird das zu:

\[
-2 \sin(x) \left(-\frac{1}{2}\right) = \sin(x)
\]

Somit ist die vereinfachte Form des ursprünglichen Ausdrucks:

\[
\sin(x)
\]