13 Fragen zu Binom

Um \( P(X = 0) \) zu berechnen, verwenden wir die gegebene Formel: \[ P(X = 0) = \frac{{1 \cdot \binom{80}{20}}}{{\binom{100}{20}}} \] Hierbei steht \( \binom{n}{k} \) für den Binomialkoeffizienten, der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, \( k \) Elemente aus \( n \) auszuwählen. 1. Berechne \( \binom{80}{20} \): \[ \binom{80}{20} = \frac{80!}{20!(80-20)!} = \frac{80!}{20! \cdot 60!} \] 2. Berechne \( \binom{100}{20} \): \[ \binom{100}{20} = \frac{100!}{20!(100-20)!} = \frac{100!}{20! \cdot 80!} \] 3. Setze die Werte in die Formel ein: \[ P(X = 0) = \frac{1 \cdot \frac{80!}{20! \cdot 60!}}{\frac{100!}{20! \cdot 80!}} = \frac{80! \cdot 20! \cdot 80!}{100! \cdot 20! \cdot 60!} \] 4. Vereinfache den Ausdruck: \[ P(X = 0) = \frac{80! \cdot 80!}{100! \cdot 60!} \] Das ist die allgemeine Form für \( P(X = 0) \). Um einen konkreten Wert zu erhalten, müssten die Fakultäten berechnet werden, was in der Regel mit einem Taschenrechner oder einer Software erfolgt, die große Zahlen verarbeiten kann.

Der Ausdruck \( a^2 - 8y + 16 \) kann als Quadrat eines Binoms geschrieben werden. Er lässt sich umformen zu: \[ a^2 - 8y + 16 = (a - 4)^2 \] Das bedeutet, dass der Ausdruck das Quadrat des Binoms \( (a - 4) \) ist.

Um \((3x + 2y)^2\) zu berechnen, wird die binomische Formel \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) verwendet. Hier sind \(a = 3x\) und \(b = 2y\). \[ (3x + 2y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2 \] Nun die einzelnen Terme berechnen: \[ (3x)^2 = 9x^2 \] \[ 2 \cdot (3x) \cdot (2y) = 12xy \] \[ (2y)^2 = 4y^2 \] Alles zusammen ergibt: \[ (3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2 \] Das ist das Ergebnis.

Die Lösung von \((x+2)^2\) ist der Ausdruck selbst, da es sich um eine quadratische Binom-Formel handelt. Wenn du den Ausdruck ausmultiplizierst, erhältst du: \[ (x+2)^2 = (x+2)(x+2) = x^2 + 2x 2x + 4 = x^2 + 4x + 4 \] Also ist \((x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\).

(e + f)² = e² + 2ef + f²

Um \((3x - 2)^2\) zu berechnen, kannst du die binomische Formel anwenden. Die binomische Formel für \((a - b)^2\) lautet: \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] Setze \(a = 3x\) und \(b = 2\) ein: \[ (3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 \] Berechne die einzelnen Terme: \[ (3x)^2 = 9x^2 \] \[ -2 \cdot 3x \cdot 2 = -12x \] \[ 2^2 = 4 \] Setze die Terme zusammen: \[ (3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4 \] Das Ergebnis ist: \[ 9x^2 - 12x + 4 \]

Der Ausdruck \((x + a)^3\) kann mit der binomischen Formel entwickelt werden. Die Formel für die dritte Potenz eines Binoms lautet: \[ (x + a)^3 = x^3 + 3x^2a + 3xa^2 + a^3 \] Das bedeutet, dass der Ausdruck \((x + a)^3\) gleich \(x^3 + 3x^2a + 3xa^2 + a^3\) ist.

Der Ausdruck \((4 + 3t)^2\) kann durch Anwendung der binomischen Formel \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) vereinfacht werden. Hier ist \(a = 4\) und \(b = 3t\). 1. \(a^2 = 4^2 = 16\) 2. \(2ab = 2 \cdot 4 \cdot 3t = 24t\) 3. \(b^2 = (3t)^2 = 9t^2\) Setze alles zusammen: \[ (4 + 3t)^2 = 16 + 24t + 9t^2 \] Das Ergebnis ist also: \[ 16 + 24t + 9t^2 \]

\((x-2)^2\) ist das Quadrat des Ausdrucks \((x-2)\). Um dies zu berechnen, kannst du die Formel für das Quadrat eines Binoms verwenden: \[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] In diesem Fall ist \(a = x\) und \(b = 2\). Das ergibt: \[ (x-2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4 \] Also ist \((x-2)^2 = x^2 - 4x + 4\).

\((2x - 3y)^2\) kann mit der binomischen Formel \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) berechnet werden. Hier ist \(a = 2x\) und \(b = 3y\). Die Berechnung ergibt: \[ (2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 \] Das führt zu: \[ = 4x^2 - 12xy + 9y^2 \] Also ist das Ergebnis: \[ 4x^2 - 12xy + 9y^2 \]

Die binomischen Formeln sind mathematische Ausdrücke, die das Quadrat eines Binoms (einer Summe oder Differenz von zwei Termen) beschreiben. Es gibt drei grundlegende binomische Formeln: 1. **Erste binomische Formel**: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - Diese Formel beschreibt das Quadrat der Summe zweier Terme. 2. **Zweite binomische Formel**: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - Diese Formel beschreibt das Quadrat der Differenz zweier Terme. 3. **Dritte binomische Formel**: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) - Diese Formel beschreibt das Produkt der Summe und der Differenz zweier Terme, was zu einer Differenz der Quadrate führt. Diese Formeln sind nützlich in der Algebra, um Ausdrücke zu vereinfachen und Gleichungen zu lösen.

Die Formel für das Quadrat eines Binoms lautet \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Für \((A + 5)^2\) ergibt sich: \[ (A + 5)^2 = A^2 + 2 \cdot A \cdot 5 + 5^2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ A^2 + 10A + 25 \] Also ist \((A + 5)^2 = A^2 + 10A + 25\).

Die binomischen Formeln sind wichtige algebraische Identitäten, die das Quadrat und das Produkt von zwei Binomen beschreiben. Es gibt drei grundlegende binomische Formeln: 1. **Erste binomische Formel**: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 2. **Zweite binomische Formel**: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) 3. **Dritte binomische Formel**: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) Diese Formeln sind nützlich für das Vereinfachen von Ausdrücken und das Lösen von Gleichungen.