Wie lautet P(X = 0) = \frac{{1 \cdot \binom{80}{20}}}{{\binom{100}{20}}}?

Question

Wie lautet P(X = 0) = \frac{{1 \cdot \binom{80}{20}}}{{\binom{100}{20}}}?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Was ist Kreuzentropie?

Accepted Answer

Um \( P(X = 0) \) zu berechnen, verwenden wir die gegebene Formel: \[ P(X = 0) = \frac{{1 \cdot \binom{80}{20}}}{{\binom{100}{20}}} \] Hierbei steht \( \binom{n}{k} \) für den Binomialkoeffizienten, der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, \( k \) Elemente aus \( n \) auszuwählen. 1. Berechne \( \binom{80}{20} \): \[ \binom{80}{20} = \frac{80!}{20!(80-20)!} = \frac{80!}{20! \cdot 60!} \] 2. Berechne \( \binom{100}{20} \): \[ \binom{100}{20} = \frac{100!}{20!(100-20)!} = \frac{100!}{20! \cdot 80!} \] 3. Setze die Werte in die Formel ein: \[ P(X = 0) = \frac{1 \cdot \frac{80!}{20! \cdot 60!}}{\frac{100!}{20! \cdot 80!}} = \frac{80! \cdot 20! \cdot 80!}{100! \cdot 20! \cdot 60!} \] 4. Vereinfache den Ausdruck: \[ P(X = 0) = \frac{80! \cdot 80!}{100! \cdot 60!} \] Das ist die allgemeine Form für \( P(X = 0) \). Um einen konkreten Wert zu erhalten, müssten die Fakultäten berechnet werden, was in der Regel mit einem Taschenrechner oder einer Software erfolgt, die große Zahlen verarbeiten kann.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.

Accepted Answer

Die Kreuzentropie ist ein Maß für die Differenz zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen, häufig verwendet in der Informationstheorie und im maschinellen Lernen. Sie quantifiziert... [mehr]

Accepted Answer

Die Kreuzentropie ist ein Maß für die Differenz zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen, häufig verwendet in der Informationstheorie und im maschinellen Lernen. Sie quantifiziert, wie gut eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (z. B. die Vorhersagen eines Modells) die tatsächliche Verteilung der Daten beschreibt. Mathematisch wird die Kreuzentropie \( H(p, q) \) zwischen zwei Verteilungen \( p \) (der wahren Verteilung) und \( q \) (der geschätzten Verteilung) definiert als: \[ H(p, q) = -\sum_{x} p(x) \log(q(x)) \] Hierbei summierst du über alle möglichen Ereignisse \( x \). Die Kreuzentropie ist besonders nützlich in Klassifikationsaufgaben, da sie als Verlustfunktion verwendet wird, um die Leistung von Modellen zu bewerten. Ein niedrigerer Wert der Kreuzentropie zeigt an, dass das Modell die wahre Verteilung besser approximiert.