52 Fragen zu Bruchrechnung

Gegeben ist der Ausdruck: (2cd – 12c²) / (9c² – 4d²) + (4c) / (2d + 3c) Schritt 1: Zähler und Nenner faktorisieren **Erster Bruch:** Zähler: 2cd – 12c² = 2c(d – 6c) Nenner: 9c² – 4d² = (3c)² – (2d)² = (3c – 2d)(3c + 2d) **Zweiter Bruch:** Zähler: 4c Nenner: 2d + 3c (lässt sich nicht weiter faktorisieren) Schritt 2: Gemeinsamen Nenner finden Der Hauptnenner ist (3c – 2d)(3c + 2d) Der zweite Bruch hat Nenner 2d + 3c, das ist dasselbe wie 3c + 2d. Schreibe den zweiten Bruch mit dem Hauptnenner: (4c)/(3c + 2d) = (4c * (3c – 2d)) / [(3c + 2d)(3c – 2d)] Schritt 3: Beide Brüche auf gemeinsamen Nenner bringen (2c(d – 6c)) / [(3c – 2d)(3c + 2d)] + (4c(3c – 2d)) / [(3c + 2d)(3c – 2d)] Schritt 4: Zähler zusammenfassen Zähler: 2c(d – 6c) + 4c(3c – 2d) = 2c(d – 6c) + 4c(3c – 2d) = 2c*d – 12c² + 12c² – 8c*d = (2c*d – 8c*d) + (–12c² + 12c²) = (–6c*d) + (0) = –6c*d Schritt 5: Endergebnis Der gesamte Bruch ist: –6c*d / [(3c – 2d)(3c + 2d)] Das ist die vereinfachte Form.

Gegeben ist der Term: \[ \frac{2cd - 12c^2}{9c^2 - 4d^2} + \frac{4c}{2d + 3c} \] Das Ergebnis soll sein: \[ \frac{6cd}{4d^2 - 9c^2} \] **Rechenweg:** --- **1. Zähler und Nenner faktorisieren** **Erster Bruch:** Zähler: \(2cd - 12c^2 = 2c(d - 6c)\) Nenner: \(9c^2 - 4d^2\) ist eine **Differenz zweier Quadrate**: \[ 9c^2 - 4d^2 = (3c)^2 - (2d)^2 = (3c - 2d)(3c + 2d) \] Also: \[ \frac{2c(d - 6c)}{(3c - 2d)(3c + 2d)} \] --- **Zweiter Bruch:** Zähler: \(4c\) Nenner: \(2d + 3c = 3c + 2d\) Also: \[ \frac{4c}{3c + 2d} \] --- **2. Auf gemeinsamen Nenner bringen** Der gemeinsame Nenner ist \((3c - 2d)(3c + 2d)\). - Der erste Bruch hat diesen Nenner schon. - Der zweite Bruch muss erweitert werden: \[ \frac{4c}{3c + 2d} \cdot \frac{3c - 2d}{3c - 2d} = \frac{4c(3c - 2d)}{(3c + 2d)(3c - 2d)} \] --- **3. Brüche addieren** \[ \frac{2c(d - 6c) + 4c(3c - 2d)}{(3c - 2d)(3c + 2d)} \] Zähler ausmultiplizieren: - \(2c(d - 6c) = 2cd - 12c^2\) - \(4c(3c - 2d) = 12c^2 - 8cd\) Summe im Zähler: \[ (2cd - 12c^2) + (12c^2 - 8cd) = (2cd - 8cd) + (-12c^2 + 12c^2) = (-6cd) + (0) = -6cd \] --- **4. Bruch vereinfachen** \[ \frac{-6cd}{(3c - 2d)(3c + 2d)} \] Der Nenner ist \(9c^2 - 4d^2\), aber das gewünschte Ergebnis hat \(4d^2 - 9c^2\) im Nenner, also das **negative Vorzeichen**: \[ 4d^2 - 9c^2 = -(9c^2 - 4d^2) \] Also: \[ \frac{-6cd}{9c^2 - 4d^2} = \frac{6cd}{4d^2 - 9c^2} \] --- **Fazit:** Der Rechenweg ist: 1. Brüche auf gemeinsamen Nenner bringen. 2. Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen. 3. Vorzeichen beachten und ggf. Nenner umdrehen. **Endergebnis:** \[ \frac{6cd}{4d^2 - 9c^2} \]

Gegeben ist der Ausdruck: \[ \frac{2cd - 12c^2}{9c^2 - 4d^2} + \frac{4c}{2d \cdot 3c} \] **Schritt 1: Brüche vereinfachen** Zuerst den zweiten Bruch vereinfachen: \[ \frac{4c}{2d \cdot 3c} = \frac{4c}{6cd} = \frac{4}{6d} = \frac{2}{3d} \] **Schritt 2: Zähler und Nenner des ersten Bruchs faktorisieren** Zähler: \(2cd - 12c^2 = 2c(d - 6c)\) Nenner: \(9c^2 - 4d^2\) ist eine **Differenz von Quadraten**: \[ 9c^2 - 4d^2 = (3c)^2 - (2d)^2 = (3c - 2d)(3c + 2d) \] Also: \[ \frac{2cd - 12c^2}{9c^2 - 4d^2} = \frac{2c(d - 6c)}{(3c - 2d)(3c + 2d)} \] **Schritt 3: Gemeinsamen Nenner finden** Der Hauptnenner ist \((3c - 2d)(3c + 2d)\). Den zweiten Bruch auf diesen Hauptnenner bringen: \[ \frac{2}{3d} = \frac{2(3c - 2d)(3c + 2d)}{3d(3c - 2d)(3c + 2d)} \] Aber der erste Bruch hat im Nenner \((3c - 2d)(3c + 2d)\), der zweite \((3d)\). Also erweitern wir den zweiten Bruch: \[ \frac{2}{3d} = \frac{2(3c - 2d)(3c + 2d)}{3d(3c - 2d)(3c + 2d)} \] Der erste Bruch muss mit \(d\) erweitert werden, damit beide den gleichen Nenner haben: \[ \frac{2c(d - 6c)}{(3c - 2d)(3c + 2d)} = \frac{2c(d - 6c) \cdot d}{(3c - 2d)(3c + 2d) \cdot d} = \frac{2cd(d - 6c)}{d(3c - 2d)(3c + 2d)} \] Der zweite Bruch muss mit \(3c\) erweitert werden: \[ \frac{2}{3d} = \frac{2 \cdot 3c}{3d \cdot 3c} = \frac{6c}{3d \cdot 3c} \] Das ist aber nicht der richtige Hauptnenner. Besser ist, beide Brüche auf den Nenner \(3d(3c - 2d)(3c + 2d)\) zu bringen. Erster Bruch: \[ \frac{2c(d - 6c)}{(3c - 2d)(3c + 2d)} = \frac{2c(d - 6c) \cdot 3d}{(3c - 2d)(3c + 2d) \cdot 3d} = \frac{6cd(d - 6c)}{3d(3c - 2d)(3c + 2d)} \] Zweiter Bruch: \[ \frac{2}{3d} = \frac{2(3c - 2d)(3c + 2d)}{3d(3c - 2d)(3c + 2d)} \] **Schritt 4: Brüche addieren** \[ \frac{6cd(d - 6c) + 2(3c - 2d)(3c + 2d)}{3d(3c - 2d)(3c + 2d)} \] Zähler ausmultiplizieren: - \(6cd(d - 6c) = 6cd^2 - 36c^2d\) - \(2(3c - 2d)(3c + 2d) = 2[(3c)^2 - (2d)^2] = 2(9c^2 - 4d

Um die Brüche 1/3 und 1/2 auf den gleichen Hauptnenner (gemeinsamen Nenner) zu bringen, suchst du das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner 3 und . Das ist 6. Nun wandelst du beide Brüche um: - 1/3 = 2/6 (weil 1 × 2 = 2 und 3 × 2 = 6) - 1/2 = 3/6 (weil 1 × 3 = 3 und 2 × 3 = 6) Beide Brüche mit dem Hauptnenner 6 sind also: **2/6 und 3/6**

Um die Brüche 1/2 und 4/5 auf den gleichen Hauptnenner zu bringen, bestimmst du zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner 2 und 5. Das kgV von 2 und 5 ist 10. Nun wandelst du beide Brüche so um, dass sie den Nenner 10 haben: 1/2 = 5/10 (weil 1 × 5 = 5 und 2 × 5 = 10) 4/5 = 8/10 (weil 4 × 2 = 8 und 5 × 2 = 10) Die Brüche mit dem gleichen Hauptnenner lauten also: **5/10 und 8/10**

Um die Brüche \( \frac{1}{2} \) und \( \frac{4}{5} \) auf den gleichen Hauptnenner zu bringen, bestimmst du zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner 2 und 5. Das kgV von 2 und 5 ist 10. Nun wandelst du beide Brüche so um, dass sie den Nenner 10 haben: \[ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} \] \[ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} \] Die Brüche mit dem gleichen Hauptnenner lauten also: \[ \frac{5}{10} \text{ und } \frac{8}{10} \]

Um die Brüche 1/2 und 2/3 auf den gleichen Hauptnenner (gemeinsamen Nenner) zu bringen, bestimmst du zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner 2 und 3. Das kgV von 2 und 3 ist 6. Nun wandelst du beide Brüche so um, dass sie den Nenner 6 haben: 1/2 = 3/6 (weil 1 × 3 = 3 und 2 × 3 = 6) 2/3 = 4/6 (weil 2 × 2 = 4 und 3 × 2 = 6) Die Brüche mit dem gleichen Hauptnenner lauten also: **1/2 = 3/6** **2/3 = 4/6**

Sechs Neuntel von 72 cm berechnest du so: \( \frac{6}{9} \times 72\,\text{cm} = \frac{2}{3} \times 72\,\text{cm} = 48\,\text{cm} \) Antwort: 48 cm

Sechs Neuntel von 45 Minuten berechnest du so: \( \frac{6}{9} \times 45 = \frac{2}{3} \times 45 = 30 \) Antwort: 30 Minuten.

Ein Siebtel von 14 Stunden (h) ist 2 Stunden (h).

Um 8 Drittel durch 2 zu teilen, kannst du den Bruch 8/3 mit dem Kehrwert von 2 multiplizieren. Der Kehrwert von 2 ist 1/2. Also rechnest du: \[ \frac{8}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{8 \times 1}{3 \times 2} = \frac{8}{6} \] Dieser Bruch kann weiter vereinfacht werden, indem du den Zähler und den Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, der 2 ist, teilst: \[ \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] Das Ergebnis ist also \(\frac{4}{3}\).

Die Zahlen 2 und 3 haben als kleinsten gemeinsamen Nenner das Produkt der beiden Zahlen, da sie teilerfremd sind. Der kleinste gemeinsame Nenner ist also 6.

Die gegebene mathematische Ausdrucksformel lautet \( \frac{8}{7} \, \text{m}^3 - \frac{20}{7} \, \text{l} \). Um diese beiden Terme zu vergleichen oder zu kombinieren, müssen sie in denselben Einheiten vorliegen. 1 Kubikmeter (m³) entspricht 1000 Litern (l). Daher ist \( \frac{8}{7} \, \text{m}^3 \) gleich \( \frac{8}{7} \times 1000 \, \text{l} = \frac{8000}{7} \, \text{l} \). Nun kannst du die Terme subtrahieren: \[ \frac{8000}{7} \, \text{l} - \frac{20}{7} \, \text{l} = \frac{8000 - 20}{7} \, \text{l} = \frac{7980}{7} \, \text{l} \] Das Ergebnis ist \( \frac{7980}{7} \, \text{l} \), was ungefähr 1140 Liter entspricht.

Vier Fünftel mal 250 Eintel ergibt 200 Eintel oder einfach 200.

Die Divisionsaufgabe 556:0,8 ist äquivalent zu 5560:8. Wenn du den Divisor und den Dividend mit 10 multiplizierst, ändert sich das Ergebnis der Division nicht.