9 Fragen zu Potenzgesetze

Potenzgesetze sind mathematische Regeln, die den Umgang mit Potenzen (Exponentialausdrücken) vereinfachen. Hier sind die grundlegenden Potenzgesetze: 1. **Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis:** \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) 2. **Division von Potenzen mit gleicher Basis:** \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (für \( a \neq 0 \)) 3. **Potenz einer Potenz:** \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) 4. **Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten:** \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \) 5. **Division von Potenzen mit gleichem Exponenten:** \( \frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m \) (für \( b \neq 0 \)) 6. **Potenz mit Exponent 0:** \( a^0 = 1 \) (für \( a \neq 0 \)) 7. **Potenz mit negativem Exponenten:** \( a^{-m} = \frac{1}{a^m} \) (für \( a \neq 0 \)) Diese Gesetze sind nützlich, um Ausdrücke zu vereinfachen und zu berechnen.

Um den Ausdruck \( \frac{25^7 \cdot 4^7}{100^} \) zu vereinfachen, können wir die Potenzgesetze anwenden. Zuerst schreiben wir \( 100 \) als \( 10^2 \): \[ 100^3 = (10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 \] Nun können wir \( 25 \) und \( 4 \) ebenfalls umschreiben: \[ 25 = 5^2 \quad \text{und} \quad 4 = 2^2 \] Daher gilt: \[ 25^7 = (5^2)^7 = 5^{2 \cdot 7} = 5^{14} \] \[ 4^7 = (2^2)^7 = 2^{2 \cdot 7} = 2^{14} \] Setzen wir das in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ \frac{25^7 \cdot 4^7}{100^3} = \frac{5^{14} \cdot 2^{14}}{10^6} \] Da \( 10 = 2 \cdot 5 \), können wir \( 10^6 \) als \( (2 \cdot 5)^6 = 2^6 \cdot 5^6 \) schreiben. Damit wird der Ausdruck: \[ \frac{5^{14} \cdot 2^{14}}{2^6 \cdot 5^6} \] Jetzt können wir die Potenzen mit der gleichen Basis subtrahieren: \[ = 5^{14-6} \cdot 2^{14-6} = 5^8 \cdot 2^8 \] Das Ergebnis kann auch als: \[ (5 \cdot 2)^8 = 10^8 \] Zusammenfassend ist die vereinfachte Form des Ausdrucks: \[ 10^8 \]

Die Potenzgesetze sind Regeln, die dir helfen, mit Potenzen zu rechnen. Hier sind die wichtigsten Gesetze: 1. **Produktregel**: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) 2. **Quotientenregel**: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (für \( a \neq 0 \)) 3. **Potenzregel**: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) 4. **Nullregel**: \( a^0 = 1 \) (für \( a \neq 0 \)) 5. **Negativregel**: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) (für \( a \neq 0 \)) Um diese Gesetze zu veranschaulichen, betrachten wir die folgende anspruchsvolle Rechenaufgabe: Berechne den Ausdruck: \[ \frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{(2^2)^3} \] **Schritt 1: Anwenden der Produktregel** Zuerst berechnen wir den Zähler: \[ 2^5 \cdot 2^{-3} = 2^{5 + (-3)} = 2^{5 - 3} = 2^2 \] **Schritt 2: Anwenden der Potenzregel im Nenner** Nun berechnen wir den Nenner: \[ (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \] **Schritt 3: Anwenden der Quotientenregel** Jetzt setzen wir den Zähler und den Nenner zusammen: \[ \frac{2^2}{2^6} = 2^{2 - 6} = 2^{-4} \] **Schritt 4: Anwenden der Negativregel** Um das Ergebnis in eine positive Potenz umzuwandeln, verwenden wir die Negativregel: \[ 2^{-4} = \frac{1}{2^4} \] **Schritt 5: Berechnung von \(2^4\)** Jetzt berechnen wir \(2^4\): \[ 2^4 = 16 \] **Endergebnis:** Somit ist das Ergebnis des ursprünglichen Ausdrucks: \[ \frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{(2^2)^3} = \frac{1}{16} \] Diese Aufgabe zeigt, wie die Potenzgesetze angewendet werden, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen.

Das Potenzgesetz für verschiedene Basen mit demselben Exponenten besagt, dass du die Basen multiplizieren kannst, während der Exponent gleich bleibt. Mathematisch ausgedrückt lautet das Gesetz: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \) Hierbei sind \( a \) und \( b \) die verschiedenen Basen, und \( n \) ist der gemeinsame Exponent. Beispiel: Wenn \( a = 2 \), \( b = 3 \) und \( n = 4 \), dann gilt: \( 2^4 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4 \) Das bedeutet, dass du die Potenzen mit dem gleichen Exponenten zusammenfassen kannst, indem du die Basen multiplizierst.

Um \(\frac{4^2}{4^3}\) zu berechnen, kannst du die Potenzregel für Division verwenden, die besagt, dass \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\). In diesem Fall ist \(a = 4\), \(m = 2\) und \(n = 3\): \[ \frac{4^2}{4^3} = 4^{2-3} = 4^{-1} \] Eine negative Potenz bedeutet, dass du den Kehrwert der Basis nimmst: \[ 4^{-1} = \frac{1}{4} \] Also ist \(\frac{4^2}{4^3} = \frac{1}{4}\).

Nein, \((-z^5)^4\) ist nicht gleich \((-z^4)^5\). Hier ist der Grund: \[ (-z^5)^4 = (-1 \cdot z^5)^4 = (-1)^4 \cdot (z^5)^4 = 1 \cdot z^{20} = z^{20} \] \[ (-z^4)^5 = (-1 \cdot z^4)^5 = (-1)^5 \cdot (z^4)^5 = -1 \cdot z^{20} = -z^{20} \] Also: \[ (-z^5)^4 = z^{20} \] \[ (-z^4)^5 = -z^{20} \] Daher sind \((-z^5)^4\) und \((-z^4)^5\) nicht gleich.

Um den Ausdruck \(10^6 \cdot 3^3 \cdot 10^{-3}\) zu vereinfachen, kannst du die Potenzgesetze für gleiche Basen anwenden. Zuerst kombinierst du die Terme mit der Basis 10: \[ 10^6 \cdot 10^{-3} = 10^{6 + (-3)} = 10^{3} \] Der Ausdruck wird also zu: \[ 10^3 \cdot 3^3 \] Jetzt kannst du die Potenzen berechnen: \[ 10^3 = 1000 \quad \text{und} \quad 3^3 = 27 \] Somit ergibt sich: \[ 1000 \cdot 27 = 27000 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also \(27000\).

Die gegebene mathematische und physikalische Gleichung kann in zwei Teile unterteilt werden: 1. **Mathematischer Ausdruck:** \[ \frac{10^{-5} \times 10^{123456789}}{10^{-7} \times 10^0} + 10 \] Zuerst vereinfachen wir den Bruch: \[ \frac{10^{-5} \times 10^{123456789}}{10^{-7} \times 10^0} = \frac{10^{-5} \times 10^{123456789}}{10^{-7}} \] Da \(10^{-5} \times 10^{123456789} = 10^{123456789 - 5} = 10^{123456784}\), und \(10^{-7} = 10^{-7}\), ergibt sich: \[ \frac{10^{123456784}}{10^{-7}} = 10^{123456784 - (-7)} = 10^{123456784 + 7} = 10^{123456791} \] Nun addieren wir 10: \[ 10^{123456791} + 10 \] Da \(10^{123456791}\) eine extrem große Zahl ist, ist der Wert von 10 im Vergleich dazu vernachlässigbar. Daher ist das Ergebnis: \[ 10^{123456791} \] 2. **Physikalischer Ausdruck:** \[ \text{nA} \times \text{J} \times \text{s} \div \text{m} \times \text{N} \] Hierbei stehen die Einheiten für: - nA: Nanoampere (\(10^{-9}\) Ampere) - J: Joule (Energieeinheit) - s: Sekunde (Zeiteinheit) - m: Meter (Längeneinheit) - N: Newton (Krafteinheit) Um die Einheiten zu kombinieren, müssen wir die Definitionen der Einheiten berücksichtigen: - 1 Joule (J) = 1 Newtonmeter (Nm) - 1 Newton (N) = 1 kg·m/s² Setzen wir die Einheiten in den Ausdruck ein: \[ \text{nA} \times \text{J} \times \text{s} \div \text{m} \times \text{N} = 10^{-9} \text{A} \times \{Nm} \times \text{s} \div \text{m} \times \text{N} \] Da \(1 \text{J} = 1 \text{Nm}\), vereinfacht sich der Ausdruck zu: \[ 10^{-9} \text{A} \times \text{Nm} \times \text{s} \div \text{m} \times \text{N} \] Die Newton-Einheiten kürzen sich heraus: \[ 10^{-9} \text{A} \times \text{s} \] Das Ergebnis ist: \[ 10^{-9} \text{A} \cdot \text{s} \] Zusammengefasst: - Der mathematische Ausdruck ergibt \(10^{123456791}\). - Der physikalische Ausdruck ergibt \(10^{-9} \text{A} \cdot \text{s}\).

Um die Aufgabe zu lösen, verwenden wir die Potenzgesetze und die Regeln für die Multiplikation und Division von Termen. Gegeben ist der Ausdruck: \[ (5a)^3 \cdot (2b)^3 \cdot 3^3 : (30a^3b^3 \cdot (ab^{-1})) \] Zuerst berechnen wir die einzelnen Teile: 1. \((5a)^3 = 5^3 \cdot a^3 = 125a^3\) 2. \((2b)^3 = 2^3 \cdot b^3 = 8b^3\) 3. \(3^3 = 27\) Nun setzen wir alles zusammen: \[ 125a^3 \cdot 8b^3 \cdot 27 \] Multiplizieren wir die Koeffizienten: \[ 125 \cdot 8 \cdot 27 \] Zuerst \(125 \cdot 8 = 1000\), dann \(1000 \cdot 27 = 27000\). Somit haben wir: \[ 27000a^3b^3 \] Jetzt betrachten wir den Nenner: \[ 30a^3b^3 \cdot (ab^{-1}) = 30a^3b^3 \cdot \frac{a}{b} = 30a^{3+1}b^{3-1} = 30a^4b^2 \] Jetzt setzen wir alles in den Bruch: \[ \frac{27000a^3b^3}{30a^4b^2} \] Wir können die Koeffizienten und die Variablen getrennt betrachten: 1. Koeffizienten: \(\frac{27000}{30} = 900\) 2. Für die Variablen: - \(a^{3-4} = a^{-1} = \frac{1}{a}\) - \(b^{3-2} = b^{1} = b\) Somit ergibt sich: \[ 900 \cdot \frac{b}{a} = \frac{900b}{a} \] Das Endergebnis ist: \[ \frac{900b}{a} \]