Erkläre Potenzgesetze mit einer anspruchsvollen Rechenaufgabe für die 9. Klasse.

Die Potenzgesetze sind Regeln, die dir helfen, mit Potenzen zu rechnen. Hier sind die wichtigsten Gesetze:

1. **Produktregel**: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
2. **Quotientenregel**: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (für \( a \neq 0 \))
3. **Potenzregel**: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
4. **Nullregel**: \( a^0 = 1 \) (für \( a \neq 0 \))
5. **Negativregel**: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) (für \( a \neq 0 \))

Um diese Gesetze zu veranschaulichen, betrachten wir die folgende anspruchsvolle Rechenaufgabe:

Berechne den Ausdruck:

\[
\frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{(2^2)^3}
\]

**Schritt 1: Anwenden der Produktregel**

Zuerst berechnen wir den Zähler:

\[
2^5 \cdot 2^{-3} = 2^{5 + (-3)} = 2^{5 - 3} = 2^2
\]

**Schritt 2: Anwenden der Potenzregel im Nenner**

Nun berechnen wir den Nenner:

\[
(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6
\]

**Schritt 3: Anwenden der Quotientenregel**

Jetzt setzen wir den Zähler und den Nenner zusammen:

\[
\frac{2^2}{2^6} = 2^{2 - 6} = 2^{-4}
\]

**Schritt 4: Anwenden der Negativregel**

Um das Ergebnis in eine positive Potenz umzuwandeln, verwenden wir die Negativregel:

\[
2^{-4} = \frac{1}{2^4}
\]

**Schritt 5: Berechnung von \(2^4\)**

Jetzt berechnen wir \(2^4\):

\[
2^4 = 16
\]

**Endergebnis:**

Somit ist das Ergebnis des ursprünglichen Ausdrucks:

\[
\frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{(2^2)^3} = \frac{1}{16}
\]

Diese Aufgabe zeigt, wie die Potenzgesetze angewendet werden, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen.