Die Potenzgesetze sind Regeln, die dir helfen, mit Potenzen zu rechnen. Hier sind die wichtigsten Gesetze: 1. **Produktregel**: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) 2. **Quotientenregel**: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (für \( a \neq 0 \)) 3. **Potenzregel**: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) 4. **Nullregel**: \( a^0 = 1 \) (für \( a \neq 0 \)) 5. **Negativregel**: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) (für \( a \neq 0 \)) Um diese Gesetze zu veranschaulichen, betrachten wir die folgende anspruchsvolle Rechenaufgabe: Berechne den Ausdruck: \[ \frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{(2^2)^3} \] **Schritt 1: Anwenden der Produktregel** Zuerst berechnen wir den Zähler: \[ 2^5 \cdot 2^{-3} = 2^{5 + (-3)} = 2^{5 - 3} = 2^2 \] **Schritt 2: Anwenden der Potenzregel im Nenner** Nun berechnen wir den Nenner: \[ (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \] **Schritt 3: Anwenden der Quotientenregel** Jetzt setzen wir den Zähler und den Nenner zusammen: \[ \frac{2^2}{2^6} = 2^{2 - 6} = 2^{-4} \] **Schritt 4: Anwenden der Negativregel** Um das Ergebnis in eine positive Potenz umzuwandeln, verwenden wir die Negativregel: \[ 2^{-4} = \frac{1}{2^4} \] **Schritt 5: Berechnung von \(2^4\)** Jetzt berechnen wir \(2^4\): \[ 2^4 = 16 \] **Endergebnis:** Somit ist das Ergebnis des ursprünglichen Ausdrucks: \[ \frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{(2^2)^3} = \frac{1}{16} \] Diese Aufgabe zeigt, wie die Potenzgesetze angewendet werden, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen.