Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze 25 hoch 7 mal 4 hoch 7 geteilt durch 100 hoch 3.

Um den Ausdruck \( \frac{25^7 \cdot 4^7}{100^} \) zu vereinfachen, können wir die Potenzgesetze anwenden.

Zuerst schreiben wir \( 100 \) als \( 10^2 \):
\[
100^3 = (10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6
\]

Nun können wir \( 25 \) und \( 4 \) ebenfalls umschreiben:
\[
25 = 5^2 \quad \text{und} \quad 4 = 2^2
\]
Daher gilt:
\[
25^7 = (5^2)^7 = 5^{2 \cdot 7} = 5^{14}
\]
\[
4^7 = (2^2)^7 = 2^{2 \cdot 7} = 2^{14}
\]

Setzen wir das in den ursprünglichen Ausdruck ein:
\[
\frac{25^7 \cdot 4^7}{100^3} = \frac{5^{14} \cdot 2^{14}}{10^6}
\]

Da \( 10 = 2 \cdot 5 \), können wir \( 10^6 \) als \( (2 \cdot 5)^6 = 2^6 \cdot 5^6 \) schreiben. Damit wird der Ausdruck:
\[
\frac{5^{14} \cdot 2^{14}}{2^6 \cdot 5^6}
\]

Jetzt können wir die Potenzen mit der gleichen Basis subtrahieren:
\[
= 5^{14-6} \cdot 2^{14-6} = 5^8 \cdot 2^8
\]

Das Ergebnis kann auch als:
\[
(5 \cdot 2)^8 = 10^8
\]

Zusammenfassend ist die vereinfachte Form des Ausdrucks:
\[
10^8
\]