50 Fragen zu Exponenten

Um die Potenzen der Basen 0, 1 und 10 sowie der Basen 2 bis 9 für die Exponenten 1, 2 und 3 zu berechnen, hier die Ergebnisse: **Basen 0, 1 und 10:** - **Basis 0:** - \(0^1 = 0\) - \(0^2 = 0\) - \(0^3 = 0\) - ** 1:** - \(1^1 = 1\) - \(1^2 = 1\) - \(1^3 = 1\) - ** 10:** - \(10^1 = 10\) - \(10^2 = 100\) - \(10^3 = 1000\) **Basen 2 bis 9 für die Exponenten 1, 2 und 3:** - **Basis 2:** - \(2^1 = 2\) - \(2^2 = 4\) - \(2^3 = 8\) - **Basis 3:** - \(3^1 = 3\) - \(3^2 = 9\) - \(3^3 = 27\) - **Basis 4:** - \(4^1 = 4\) - \(4^2 = 16\) - \(4^3 = 64\) - **Basis 5:** - \(5^1 = 5\) - \(5^2 = 25\) - \(5^3 = 125\) - **Basis 6:** - \(6^1 = 6\) - \(6^2 = 36\) - \(6^3 = 216\) - **Basis 7:** - \(7^1 = 7\) - \(7^2 = 49\) - \(7^3 = 343\) - **Basis 8:** - \(8^1 = 8\) - \(8^2 = 64\) - \(8^3 = 512\) - **Basis 9:** - \(9^1 = 9\) - \(9^2 = 81\) - \(9^3 = 729\) Diese Ergebnisse zeigen die Werte der jeweiligen Basen für die angegebenen Exponenten.

Die Multiplikationsregel für Exponenten besagt, dass bei der Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis die Exponenten addiert werden. Diese Regel lautet: \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \] Das Vertauschen von Exponenten bezieht sich jedoch auf eine andere Regel, die nur unter bestimmten Bedingungen gilt. Wenn du zwei Potenzen mit unterschiedlichen Basen und Exponenten hast, kannst du die Exponenten nicht einfach vertauschen. Zum Beispiel: \[ a^m \cdot b^n \neq a^n \cdot b^m \] Die Exponenten können nur vertauscht werden, wenn die Basen gleich sind und die Potenzen multipliziert werden. Ein Beispiel, bei dem die Exponenten vertauscht werden können, ist: \[ (a^m)^n = (a^n)^m = a^{mn} \] Hier sind die Basen gleich und die Potenzen werden potenziert, nicht multipliziert. Zusammengefasst: Die Multiplikationsregel für Exponenten erlaubt das Addieren der Exponenten bei gleicher Basis, aber das Vertauschen der Exponenten ist nur unter bestimmten Bedingungen möglich, wie bei der Potenzierung von Potenzen.

Der Ausdruck \( 5^{-2} \) kann ohne negative Exponenten geschrieben werden als \( \frac{1}{5^2} \). Nun berechnen wir \( 5^2 \): \[ 5^2 = 25 \] Daher ist: \[ 5^{-2} = \frac{1}{25} \] Das Ergebnis ist also \( \frac{1}{25} \).

Um den Termwert von \( 5^{-2} \) zu berechnen, kannst du den negativen Exponenten umkehren. Ein negativer Exponent bedeutet, dass du den Kehrwert der Basis nimmst. Das heißt: \[ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} \] Nun berechnest du \( 5^2 \): \[ 5^2 = 25 \] Setze das in die Gleichung ein: \[ 5^{-2} = \frac{1}{25} \] Der Termwert von \( 5^{-2} \) ist also \( \frac{1}{25} \) oder 0,04.

Um den Termwert von \( 3^{-4} \) zu berechnen, kannst du die Regel für negative Exponenten verwenden. Ein negativer Exponent bedeutet, dass der Ausdruck als Kehrwert geschrieben werden kann. Das heißt: \[ 3^{-4} = \frac{1}{3^4} \] Nun berechnen wir \( 3^4 \): \[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \] Setzen wir das in den Kehrwert ein: \[ 3^{-4} = \frac{1}{81} \] Der Termwert von \( 3^{-4} \) ist also \( \frac{1}{81} \).

Nein, nicht jede Funktion mit Exponenten ist eine ganzrationale Funktion. Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die in der Form \( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots a_1 x + a_0 \) dargestellt werden kann, wobei \( n \) eine nicht-negative ganze Zahl ist und die Koeffizienten \( a_i \) reelle oder komplexe Zahlen sind. Funktionen mit Exponenten, die nicht ganze Zahlen sind, wie zum Beispiel \( f(x) = x^{1/2} \) (Quadratwurzel) oder \( f(x) = e^x \), sind keine ganzrationalen Funktionen. Ganzrationale Funktionen sind also nur die, bei denen die Exponenten ganze Zahlen sind.

Bei Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten gelten folgende Regeln: 1. **Multiplikation**: \( a^n \cdot a^n = a^{n+n} = a^{2n} \) 2. **Addition**: Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können nicht direkt addiert werden, es sei denn, sie sind gleich. Zum Beispiel: \( a^n + a^n = 2a^n \). 3. **Subtraktion**: Ähnlich wie bei der Addition gilt: \( a^n - a^n = 0 \) und \( a^n - b^n \) kann nicht vereinfacht werden, wenn \( a \neq b \). 4. **Division**: \( \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1 \) (sofern \( a \neq 0 \)). Diese Regeln helfen dir, mit Potenzen zu rechnen, wenn die Basis und der Exponent gleich sind.

Um den Ausdruck \(((3y)^3)^2\) mit nur einem Exponenten zu schreiben, kannst du die Potenzregel \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) anwenden. Das ergibt: \[ (3y)^{3 \cdot 2} = (3y)^6 \] Der Ausdruck mit nur einem Exponenten ist also \((3y)^6\).

Eine Funktion der Form \( f(x) = x^n \) mit einem positiven ungeraden Exponenten \( n \) ist streng monoton steigend. Das bedeutet, dass für alle \( x_1 < x_2 \) gilt \( f(x_1) < f(x_2) \).

Eine Funktion der Form \( f(x) = x^n \) mit einem geraden und positiven Exponenten \( n \) ist auf dem gesamten Definitionsbereich monoton. Genauer gesagt: - Für \( x \geq 0 \) ist die Funktion monoton steigend, da \( f'(x) = nx^{n-1} \) für \( x \geq 0 \) positiv ist. - Für \( x \leq 0 \) ist die Funktion monoton fallend, da \( f'(x) = nx^{n-1} \) für \( x \leq 0 \) negativ ist. Zusammengefasst bedeutet dies, dass die Funktion \( f(x) = x^n \) mit geradem und positivem Exponenten auf \( (-\infty, 0] \) monoton fallend und auf \( [0, \infty) \) monoton steigend ist.

Die Aussage ist nicht korrekt. Für einen natürlichen Exponenten \( n \) größer als 1 gilt, dass \( a^n \) tatsächlich größer ist als \( a \) (also \( a^n > a \)). Dies ist der Fall, weil \( a \) eine positive Basis ist und \( n \) ein natürlicher Exponent größer als 1. Für \( n = 1 \) gilt jedoch \( a^1 = a \), was bedeutet, dass die Gleichung nicht immer gilt. Daher ist die Aussage nur für natürliche Exponenten \( n > 1 \) wahr.

Um einen unbekannten Exponenten in der Mathematik zu berechnen, kannst du logarithmische Funktionen verwenden. Hier ist ein allgemeiner Ansatz: 1. **Gegebenes Problem**: \( a^x = b \) - \( a \) ist die Basis - \( x \) ist der unbekannte Exponent - \( b \) ist das Ergebnis 2. **Logarithmus anwenden**: Um den Exponenten \( x \) zu isolieren, nimm den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung. Du kannst den natürlichen Logarithmus (ln) oder den Logarithmus zur Basis 10 (log) verwenden. Hier wird der natürliche Logarithmus verwendet: \[ \ln(a^x) = \ln(b) \] 3. **Logarithmengesetz anwenden**: Nutze die Eigenschaft des Logarithmus, dass \(\ln(a^x) = x \cdot \ln(a)\): \[ x \cdot \ln(a) = \ln(b) \] 4. **Isolieren des Exponenten**: Teile beide Seiten der Gleichung durch \(\ln(a)\), um \( x \) zu isolieren: \[ x = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} \] Beispiel: - Gegeben: \( 2^x = 8 \) - Nimm den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten: \(\ln(2^x) = \ln(8)\) - Anwenden des Logarithmengesetzes: \( x \cdot \ln(2) = \ln(8) \) - Isolieren des Exponenten: \( x = \frac{\ln(8)}{\ln(2)} \) Da \( 8 = 2^3 \), ist \( \ln(8) = \ln(2^3) = 3 \cdot \ln(2) \), und somit: \[ x = \frac{3 \cdot \ln(2)}{\ln(2)} = 3 \] Der Exponent \( x \) ist also 3.

Das Potenzgesetz für verschiedene Basen mit demselben Exponenten besagt, dass du die Basen multiplizieren kannst, während der Exponent gleich bleibt. Mathematisch ausgedrückt lautet das Gesetz: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \) Hierbei sind \( a \) und \( b \) die verschiedenen Basen, und \( n \) ist der gemeinsame Exponent. Beispiel: Wenn \( a = 2 \), \( b = 3 \) und \( n = 4 \), dann gilt: \( 2^4 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4 \) Das bedeutet, dass du die Potenzen mit dem gleichen Exponenten zusammenfassen kannst, indem du die Basen multiplizierst.

Potenzfunktionen mit positivem und ungeradem Exponenten, also Funktionen der Form \( f(x) = x^n \) mit \( n \) ungerade, besitzen eine ungerade Symmetrie. Das bedeutet, dass die Funktion die Eigenschaft \( f(-x) = -f(x) \) erfüllt. Grafisch zeigt sich dies darin, dass der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Potenzfunktionen der Form \( f(x) = x^n \) mit einem positiven und ungeraden Exponenten \( n \) weisen eine bestimmte Symmetrie auf. Diese Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Das bedeutet, dass für jeden Punkt \( (x, f(x)) \) auch der Punkt \( (-x, f(-x)) \) auf der Funktion liegt. Mathematisch ausgedrückt gilt: \[ f(-x) = (-x)^n = -x^n = -f(x) \] Das zeigt, dass die Funktion für negative Werte von \( x \) das Vorzeichen wechselt, was die Punktsymmetrie zum Ursprung bestätigt. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist \( f(x) = x^3 \). Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Potenzfunktionen mit positiven und ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung sind.