Wie berechne ich einen unbekannten Exponenten?

Um einen unbekannten Exponenten in der Mathematik zu berechnen, kannst du logarithmische Funktionen verwenden. Hier ist ein allgemeiner Ansatz:

1. **Gegebenes Problem**: \( a^x = b \)
- \( a \) ist die Basis
- \( x \) ist der unbekannte Exponent
- \( b \) ist das Ergebnis

2. **Logarithmus anwenden**: Um den Exponenten \( x \) zu isolieren, nimm den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung. Du kannst den natürlichen Logarithmus (ln) oder den Logarithmus zur Basis 10 (log) verwenden. Hier wird der natürliche Logarithmus verwendet:
\[
\ln(a^x) = \ln(b)
\]

3. **Logarithmengesetz anwenden**: Nutze die Eigenschaft des Logarithmus, dass \(\ln(a^x) = x \cdot \ln(a)\):
\[
x \cdot \ln(a) = \ln(b)
\]

4. **Isolieren des Exponenten**: Teile beide Seiten der Gleichung durch \(\ln(a)\), um \( x \) zu isolieren:
\[
x = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}
\]

Beispiel:
- Gegeben: \( 2^x = 8 \)
- Nimm den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten: \(\ln(2^x) = \ln(8)\)
- Anwenden des Logarithmengesetzes: \( x \cdot \ln(2) = \ln(8) \)
- Isolieren des Exponenten: \( x = \frac{\ln(8)}{\ln(2)} \)

Da \( 8 = 2^3 \), ist \( \ln(8) = \ln(2^3) = 3 \cdot \ln(2) \), und somit:
\[
x = \frac{3 \cdot \ln(2)}{\ln(2)} = 3
\]

Der Exponent \( x \) ist also 3.