16 Fragen zu Faktorisieren

Die binomischen Formeln sind mathematische Identitäten, die verwendet werden, um bestimmte Arten von algebraischen Ausdrücken zu vereinfachen. Es gibt drei grundlegende binomische Formeln: 1. **Erste binomische Formel:** \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] 2. **Zweite binomische Formel:** \[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] 3. **Dritte binomische Formel:** \[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\] Diese Formeln können verwendet werden, um Ausdrücke zu faktorisieren, also in Produkte von einfacheren Ausdrücken zu zerlegen. Hier sind einige Beispiele: ### Beispiel 1: Faktorisierung mit der ersten binomischen Formel Gegeben sei der Ausdruck \(x^2 + 6x + 9\). 1. Erkenne, dass \(x^2 + 6x + 9\) der Form \(a^2 + 2ab + b^2\) entspricht. 2. Identifiziere \(a = x\) und \(b = 3\), da \(2ab = 6x\) und \(b^2 = 9\). 3. Schreibe den Ausdruck als \((x + 3)^2\). ### Beispiel 2: Faktorisierung mit der zweiten binomischen Formel Gegeben sei der Ausdruck \(x^2 - 10x + 25\). 1. Erkenne, dass \(x^2 - 10x + 25\) der Form \(a^2 - 2ab + b^2\) entspricht. 2. Identifiziere \(a = x\) und \(b = 5\), da \(2ab = 10x\) und \(b^2 = 25\). 3. Schreibe den Ausdruck als \((x - 5)^2\). ### Beispiel 3: Faktorisierung mit der dritten binomischen Formel Gegeben sei der Ausdruck \(x^2 - 16\). 1. Erkenne, dass \(x^2 - 16\) der Form \(a^2 - b^2\) entspricht. 2. Identifiziere \(a = x\) und \(b = 4\), da \(b^2 = 16\). 3. Schreibe den Ausdruck als \((x + 4)(x - 4)\). Durch die Anwendung der binomischen Formeln kannst du komplexe algebraische Ausdrücke in einfachere Faktoren zerlegen, was in vielen mathematischen und praktischen Anwendungen nützlich ist.

Um den Ausdruck \( A = 32x^{2n+1 + 32x^{2n + 8x2n-1} \) zu faktorisieren, können wir zunächst gemeinsame Faktoren identifizieren. 1. Z erkennen wir, dass \( 8) ein gemeinsamer ist: \[ A = 8(4x^{2n+1} + 4x^{2n} + x^{2n-1}) \] 2. Jetzt können wir den inneren Ausdruck weiter untersuchen: \[ 4x^{2n+1} + 4x^{2n} + x^{2n-1} \] 3. Wir können \( x^{2n-1} \) als gemeinsamen Faktor herausziehen: \[ = x^{2n-1}(4x^2 + 4x + 1) \] 4. Setzen wir alles zusammen: \[ A = 8x^{2n-1}(4x^2 + 4x + 1) \] 5. Der Ausdruck \( 4x^2 + 4x + 1 \) kann nicht weiter faktorisiert werden, da die Diskriminante \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0 \) ist, was bedeutet, dass es eine doppelte Wurzel hat. Somit ist die faktorisierte Form des Ausdrucks: \[ A = 8x^{2n-1}(4x^2 + 4x + 1) \]

Um den Ausdruck \(30y^2 - 15y^3z\) zu faktorisieren, kannst du die gemeinsamen Faktoren herausziehen. 1. Bestimme den größten gemeinsamen Faktor (GGF) der Koeffizienten 30 und 15, der 15 ist. 2. Bestimme den gemeinsamen Faktor der Variablen \(y^2\) und \(y^3\), der \(y^2\) ist. Der GGF ist also \(15y^2\). Nun kannst du den Ausdruck faktorisieren: \[ 30y^2 - 15y^3z = 15y^2(2 - y z) \] Das ist die faktorisierte Form des Ausdrucks.

Um den Ausdruck \((9ab^2 - 6a^2b):3ab\) durch Faktorisieren zu lösen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Faktorisieren des Zählers**: Der Ausdruck \(9ab^2 - 6a^2b\) kann faktorisieren werden. Wir suchen den größten gemeinsamen Faktor (GGF) der beiden Terme: - Der GGF von \(9ab^2\) und \(6a^2b\) ist \(3ab\). Wir faktorisieren \(3ab\) aus dem Ausdruck: \[ 9ab^2 - 6a^2b = 3ab(3b - 2a) \] 2. **Einsetzen in den Bruch**: Jetzt setzen wir das faktorisierte Ergebnis in den Bruch ein: \[ \frac{9ab^2 - 6a^2b}{3ab} = \frac{3ab(3b - 2a)}{3ab} \] 3. **Kürzen**: Da \(3ab\) im Zähler und Nenner steht, können wir es kürzen (vorausgesetzt, \(ab \neq 0\)): \[ = 3b - 2a \] Das Endergebnis ist also: \[ 3b - 2a \]

Um einer Drittklässlerin das Faktorisieren zu erklären, kannst du es so angehen: 1. **faches Beispiel**: Beginne mit einer einfachen Zahl, wie 12. Erkläre, dass Faktorisieren bedeutet, eine Zahl in kleinere Zahlen zu zerlegen, die multipliziert wieder die ursprüngliche Zahl ergeben. 2. **Zahlen finden**: Frage sie, welche Zahlen sie kennt, die man mit 12 multiplizieren kann. Zum Beispiel: 3 und 4. Sage, dass 3 mal 4 gleich 12 ist. 3. **Faktoren erklären**: Erkläre, dass 3 und 4 die Faktoren von 12 sind. Man kann auch andere Paare finden, wie 2 und 6 oder 1 und 12. 4. **Visualisierung**: Du kannst auch eine kleine Zeichnung machen oder Blöcke verwenden, um zu zeigen, wie man die Zahl in Gruppen aufteilen kann. 5. **Übung**: Lass sie selbst ein paar Zahlen faktorisieren, indem sie verschiedene Paare von Faktoren findet. So wird das Konzept des Faktorisierens greifbar und verständlich!

Um die quadratische Gleichung \(5x^2 - 10x + 5 = 0\) in zwei Klammern zu schreiben, kann man zunächst versuchen, sie zu faktorisieren. 1. **Gleichung vereinfachen**: \[5x^2 - 10x + 5 = 0\] Man kann die Gleichung durch 5 teilen: \[x^2 - 2x + 1 = 0\] 2. **Quadratische Gleichung faktorisieren**: \[x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\] Die faktorisierte Form der Gleichung ist also: \[(x - 1)(x - 1) = 0\] Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung \(5x^2 - 10x + 5 = 0\) in zwei Klammern geschrieben werden kann als: \[5(x - 1)(x - 1) = 0\]

Um den Ausdruck \((5x + 3y)(x - 6y)\) auszuklammern, multiplizieren wir die beiden Terme miteinander. Das Ergebnis ist: \[ 5x \cdot x + 5x \cdot (-6y) + 3y \cdot x + 3y \cdot (-6y) \] Das vereinfacht sich zu: \[ 5x^2 - 30xy + 3xy - 18y^2 \] Nun fassen wir die ähnlichen Terme zusammen: \[ 5x^2 - 27xy - 18y^2 \] Das ist das Endergebnis.

Um den Ausdruck \(x^2 + 6x - 7\) als binomische Formel zu schreiben, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden. 1. Zuerst nimmst du die Koeffizienten des linearen Terms (hier 6), teilst ihn durch 2 und quadrierst das Ergebnis: \ \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2 = 9 \] 2. Dann fügst du und subtrahierst diesen Wert in der Gleichung: \[ x^2 + 6x + 9 - 9 - 7 = (x^2 + 6x + 9) - 16 \] 3. Jetzt kannst du den Ausdruck in der Klammer als Quadrat eines Binoms schreiben: \[ (x + 3)^2 - 16 \] Somit ist die binomische Form von \(x^2 + 6x - 7\): \[ (x + 3)^2 - 16 \]

Um eine ausklammern Rechnung wie \(12x + 9y\) zu lösen, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (GGT)** der Koeffizienten (Zahlen vor den Variablen). Für 12 und 9 ist der GGT 3. 2. **Teile beide Terme durch den GGT** und schreibe das Ergebnis in Klammern. Das sieht dann so aus: \[12x + 9y = 3(4x + 3y)\] Hier ist der GGT 3 ausgeklammert, und in der Klammer bleibt das Ergebnis der Division der ursprünglichen Terme durch 3. Das ist das ausklammern Ergebnis.

Um die Nullgleichung \(5x^2 + x - 1 = 0\) in Klammern zu setzen, kannst du die quadratische Gleichung in ihre Faktoren zerlegen. Das bedeutet, du suchst zwei Ausdrücke in der Form \((ax + b)(cx + d) = 0\), die multipliziert die ursprüngliche Gleichung ergeben. Für die Gleichung \(5x^2 + x - 1 = 0\) lautet die Faktorisierung: \[ (5x - 1)(x + 1) = 0 \] Das bedeutet, die Gleichung kann in Klammern gesetzt werden als: \[ (5x - 1)(x + 1) = 0 \] Um dies zu überprüfen, kannst du die Klammern wieder ausmultiplizieren: \[ (5x - 1)(x + 1) = 5x^2 + 5x - x - 1 = 5x^2 + x - 1 \] Die Faktorisierung ist korrekt.

Um die quadratische Gleichung \(2x^2 + x - 1 = 0\) in faktorisierter Form zu schreiben, suchst du nach zwei Binomen, deren Produkt die Gleichung ergibt. Das bedeutet, du suchst zwei Zahlen, die multipliziert \(-2\) (das Produkt von \(2 \cdot -1\)) und addiert \(1\) (den Koeffizienten von \(x\)) ergeben. Die Faktorisierung der Gleichung ergibt: \[ 2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1) = 0 \] Das bedeutet, die Gleichung kann in Klammern gesetzt werden als: \[ (2x - 1)(x + 1) = 0 \]

Das Faktorisieren ist der Prozess, bei dem ein Ausdruck in ein Produkt von einfacheren Ausdrücken zerlegt wird. Hier sind einige grundlegende Schritte und Methoden, um algebraische Ausdrücke zu faktorisieren: 1. **Gemeinsame Faktoren ausklammern**: - Suche nach dem größten gemeinsamen Faktor (GGT) aller Terme im Ausdruck. - Beispiel: \(6x^2 + 9x\) kann als \(3x(2x + 3)\) faktorisiert werden. 2. **Quadratische Ausdrücke faktorisieren**: - Ein quadratischer Ausdruck hat die Form \(ax^2 + bx + c\). - Suche nach zwei Zahlen, die multipliziert \(ac\) ergeben und addiert \(b\). - Beispiel: \(x^2 + 5x + 6\) kann als \((x + 2)(x + 3)\) faktorisiert werden, da \(2 \cdot 3 = 6\) und \(2 + 3 = 5\). 3. **Differenz von Quadraten**: - Ein Ausdruck der Form \(a^2 - b^2\) kann als \((a + b)(a - b)\) faktorisiert werden. - Beispiel: \(x^2 - 9\) kann als \((x + 3)(x - 3)\) faktorisiert werden. 4. **Vollständiges Quadrat**: - Ein Ausdruck der Form \(a^2 + 2ab + b^2\) kann als \((a + b)^2\) faktorisiert werden. - Beispiel: \(x^2 + 6x + 9\) kann als \((x + 3)^2\) faktorisiert werden. 5. **Gruppieren**: - Bei vier oder mehr Termen kann man versuchen, durch Gruppieren zu faktorisieren. - Beispiel: \(ax + ay + bx + by\) kann als \(a(x + y) + b(x + y)\) und weiter als \((a + b)(x + y)\) faktorisiert werden. Diese Methoden decken die meisten grundlegenden Fälle ab. Für komplexere Ausdrücke können fortgeschrittenere Techniken erforderlich sein.

Um \( x \) mal \( (x + 9) \) auszuklammern, kannst du den Ausdruck wie folgt umformen: 1. Schreibe den Ausdruck: \( x \cdot (x + 9) \). 2. Du kannst \( x \) als gemeinsamen Faktor ausklammern. Das Ergebnis ist: \[ x \cdot (x + 9) = x^2 + 9x \] Wenn du den Ausdruck in der Form \( x \cdot (x + 9) \) belassen möchtest, ist das auch korrekt.

Um den Ausdruck \(64r^2s^2 + 56rs^3\) auszuklammern, suchst du nach dem größten gemeinsamen Faktor (GGF) der beiden Terme. 1. Bestimme den GGF der Koeffizienten: - Der GGF von 64 und 56 ist 8. 2. Bestimme die gemeinsamen Variablen: - Der kleinste Exponent von \(r\) ist \(r^1\) (also \(r\)). - Der kleinste Exponent von \(s\) ist \(s^2\) (also \(s^2\)). Der GGF des gesamten Ausdrucks ist also \(8rs^2\). Nun kannst du den Ausdruck ausklammern: \[ 64r^2s^2 + 56rs^3 = 8rs^2(8r + 7s) \] Das Ergebnis ist also: \[ 8rs^2(8r + 7s) \]

Um den Ausdruck \((a+b)c - (a+b)d\) auszuklammern, kannst du den gemeinsamen Faktor \((a+b)\) herausziehen. Der Ausdruck wird dann zu: \[ (a+b)(c-d) \] Das ist das Ergebnis der Ausklammerung.