8 Fragen zu Polynomial

Um den Ausdruck \( A = 32x^{2n+1 + 32x^{2n + 8x2n-1} \) zu faktorisieren, können wir zunächst gemeinsame Faktoren identifizieren. 1. Z erkennen wir, dass \( 8) ein gemeinsamer ist: \[ A = 8(4x^{2n+1} + 4x^{2n} + x^{2n-1}) \] 2. Jetzt können wir den inneren Ausdruck weiter untersuchen: \[ 4x^{2n+1} + 4x^{2n} + x^{2n-1} \] 3. Wir können \( x^{2n-1} \) als gemeinsamen Faktor herausziehen: \[ = x^{2n-1}(4x^2 + 4x + 1) \] 4. Setzen wir alles zusammen: \[ A = 8x^{2n-1}(4x^2 + 4x + 1) \] 5. Der Ausdruck \( 4x^2 + 4x + 1 \) kann nicht weiter faktorisiert werden, da die Diskriminante \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0 \) ist, was bedeutet, dass es eine doppelte Wurzel hat. Somit ist die faktorisierte Form des Ausdrucks: \[ A = 8x^{2n-1}(4x^2 + 4x + 1) \]

Um das Polynom \( x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \) zu dividieren, benötigst du einen Divisor. Angenommen, du möchtest es durch \( x + 3 \) dividieren. Hier ist die Schritt-für-Schritt-Durchführung der Polynomdivision: 1. **Teile den ersten Term**: \( \frac{x^3}{x} = x^2 \). 2. **Multipliziere den gesamten Divisor**: \( x^2 \cdot (x + 3) = x^3 + 3x^2 \). 3. **Subtrahiere das Ergebnis von dem ursprünglichen Polynom**: \[ (x^3 + 2x^2 - 5x - 6) - (x^3 + 3x^2) = -x^2 - 5x - 6. \] 4. **Wiederhole den Prozess**: Teile den ersten Term des neuen Polynoms: \( \frac{-x^2}{x} = -x \). 5. **Multipliziere den Divisor**: \( -x \cdot (x + 3) = -x^2 - 3x \). 6. **Subtrahiere wieder**: \[ (-x^2 - 5x - 6) - (-x^2 - 3x) = -2x - 6. \] 7. **Wiederhole den Prozess**: Teile den ersten Term: \( \frac{-2x}{x} = -2 \). 8. **Multipliziere den Divisor**: \( -2 \cdot (x + 3) = -2x - 6 \). 9. **Subtrahiere**: \[ (-2x - 6) - (-2x - 6) = 0. \] Das Ergebnis der Division ist also: \[ x^2 - x - 2. \] Das Polynom \( x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \) lässt sich also als \( (x + 3)(x^2 - x - 2) \) schreiben.

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Sie hat die allgemeine Form: \[ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ld + a_1 x + a_0 \] Dabei sind \( a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0 \) reelle Zahlen (die Koeffizienten) und \( n \) eine nicht-negative ganze Zahl, die den Grad des Polynoms angibt. Der Grad \( n \) bestimmt die höchste Potenz von \( x \) in der Funktion. Ganzrationale Funktionen sind stetig und differenzierbar und können verschiedene Formen annehmen, je nach den Koeffizienten und dem Grad des Polynoms. Beispiele für ganzrationale Funktionen sind lineare Funktionen (Grad 1), quadratische Funktionen (Grad 2) und kubische Funktionen (Grad 3).

Um den Ausdruck \((x-3)^2 + 4(x-1)\) zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1. Berechne \((x-3)^2\): \[ (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] 2. Berech \(4(x-1)\): \[ 4(x-1) = 4x - 4 \] 3. Setze die beiden Ergebnisse zusammen: \[ (x-3)^2 + 4(x-1) = (x^2 - 6x + 9) + (4x - 4) \] 4. Fasse die Terme zusammen: \[ x^2 - 6x + 4x + 9 - 4 = x^2 - 2x + 5 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ x^2 - 2x + 5 \]

Um die fehlende Zahl in der Gleichung \(x^2 + 14x + ??\) zu finden, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ist \(x^2 + bx + c\), wobei \(b\) der Koeffizient von \(x\) ist. Hier ist \(b = 14\). Um die fehlende Zahl \(c\) zu finden, nimm die Hälfte von \(b\) und quadriere sie: \[ \left(\frac{14}{2}\right)^2 = 7^2 = 49 \] Die fehlende Zahl ist also 49. Die vollständige Gleichung lautet dann: \[ x^2 + 14x + 49 \] Diese kann auch als \((x + 7)^2\) geschrieben werden.

Um den Ausdruck \(x^2 + 6x - 7\) in der Form \((x - a)(x - b)\) zu schreiben, müssen wir die Nullstellen des quadratischen Ausdrucks finden. Zuerst setzen wir die Gleichung gleich null: \[ x^2 + 6x - 7 = 0 \] Wir können die Mitternachtsformel (Quadratische Formel) verwenden, um die Nullstellen zu finden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \(a = 1\), \(b = 6\) und \(c = -7\). Setzen wir die Werte in die Formel ein: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ x = \frac{-6 \pm 8}{2} \] Das ergibt zwei Lösungen: 1. \(x = \frac{2}{2} = 1\) 2. \(x = \frac{-14}{2} = -7\) Somit sind die Nullstellen \(x = 1\) und \(x = -7\). Daher kann der Ausdruck als Produkt geschrieben werden: \[ x^2 + 6x - 7 = (x - 1)(x + 7) \] In der gewünschten Form ist das: \[ (x - 1)(x + 7) \]

Um den Ausdruck \( 2 e f g + e^2 g - f g^2 e + 2 e g e - 3 e f g2 \) zufachen, fassen wir ähnliche Terme zusammen: 1. Der Ausdruck enthält die Terme: - \( 2 e f g \) - \( e^2 g \) - \( - f g2 e \) - \( 2 e g e \) (dieser kann als \( 2 e^2 g \) umgeschrieben werden) - \( - 3 e f g^2 \) 2. Jetzt fassen wir die Terme zusammen: - Die Terme mit \( e f g \): \( 2 e f g - 3 e f g^2 \) - Die Terme mit \( g \): \( e^2 g + 2 e^2 g = 3 e^2 g \) - Der Term \( - f g^2 e \) bleibt unverändert. 3. Der vereinfachte Ausdruck lautet: \[ 3 e^2 g + 2 e f g - f g^2 e - 3 e f g^2 \] Das ist die vereinfachte Form des gegebenen Ausdrucks.

Um den Ausdruck \(1, 5x^2 - 1,5x + 2,5x^2\ zu vereinfachen, kannst du die ähnlichen Terme zusammenfassen. Zuerst die \(x^2\) Terme: \[ 1,5x^2 + 2,5x^2 = 4x^2 \] Dann bleibt der gesamte Ausdruck: \[ 4x^2 - 1,5x \] Das ist die vereinfachte Form des gegebenen Ausdrucks.