Was ist (x-3)^2 + 4(x-1)?

Question

Was ist (x-3)^2 + 4(x-1)?

Antwort

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Was sind die Nullstellen von f(x) = (x - 2,5)² + 1?

Nullstelle von h(x) = x² - 1,5?

1,5x^2 - 1,5x + 2,5x^2?

Wie löse ich die Gleichung 1a :(2^(-1/2) * a + 1^(-1/2)) nach a auf?

Wie lautet die erste Ableitung der Quadratwurzel von x?

Durch welche Operationen wird eine Funktion f(x) entlang der x-Achse gestaucht oder gestreckt?

Wie führt man Äquivalenzumformungen durch?

Löse die Gleichung 3x + 7 - 5x - 1 = 0 mit Äquivalenzumformungen und rechne die Probe.

Was ist eine Äquivalenzumformung?

Binomische Formeln?

Accepted Answer

Um den Ausdruck \((x-3)^2 + 4(x-1)\) zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1. Berechne \((x-3)^2\): \[ (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] 2. Berech \(4(x-1)\): \[ 4(x-1) = 4x - 4 \] 3. Setze die beiden Ergebnisse zusammen: \[ (x-3)^2 + 4(x-1) = (x^2 - 6x + 9) + (4x - 4) \] 4. Fasse die Terme zusammen: \[ x^2 - 6x + 4x + 9 - 4 = x^2 - 2x + 5 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ x^2 - 2x + 5 \]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -1 \] Da der Ausdruck \((x - 2.5)^2\) immer größer oder gleich null ist (da es sich um ein Quadrat handelt), kann er niemals gleich \(-1\) sein. Daher hat die Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) keine Nullstellen.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadra... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm \sqrt{1,5} \] Die Nullstellen sind also: \[ x = \sqrt{1,5} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{1,5} \] Das ergibt die ungefähren Werte: \[ x \approx 1,22 \quad \text{und} \quad x \approx -1,22 \] Somit sind die Nullstellen von \( h(x) \) bei \( x \approx 1,22 \) und \( x \approx -1,22 \).

Accepted Answer

Um den Ausdruck \(1, 5x^2 - 1,5x + 2,5x^2\ zu vereinfachen, kannst du die ähnlichen Terme zusammenfassen. Zuerst die \(x^2\) Terme: \[ 1,5x^2 + 2,5x^2 = 4x^2 \] Dann bleibt der gesamte Ausdru... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \(1, 5x^2 - 1,5x + 2,5x^2\ zu vereinfachen, kannst du die ähnlichen Terme zusammenfassen. Zuerst die \(x^2\) Terme: \[ 1,5x^2 + 2,5x^2 = 4x^2 \] Dann bleibt der gesamte Ausdruck: \[ 4x^2 - 1,5x \] Das ist die vereinfachte Form des gegebenen Ausdrucks.

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] nach \( a \) auflösen möchtest. **Schritt 1: Schreibe die Gleichung auf** \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] **Schritt 2: Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren** \[ a = 2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2} \] **Schritt 3: Alle Terme mit \( a \) auf eine Seite bringen** \[ a - 2^{-1/2} \cdot a = 1^{-1/2} \] \[ a (1 - 2^{-1/2}) = 1^{-1/2} \] **Schritt 4: Nach \( a \) auflösen** \[ a = \frac{1^{-1/2}}{1 - 2^{-1/2}} \] **Schritt 5: Werte berechnen** - \( 1^{-1/2} = 1 \), weil jede Zahl hoch 0 ist 1 und jede Zahl hoch negativ ist der Kehrwert, aber 1 bleibt 1. - \( 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) Also: \[ a = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \] **Schritt 6: Bruch vereinfachen** \[ a = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} \] \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \] **Optional: Bruch rationalisieren** \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \] **Endergebnis:** \[ a = 2 + \sqrt{2} \] Das ist die Lösung für \( a \).

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Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **A... [mehr]

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Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **Antwort:** Die erste Ableitung von \( \sqrt{x} \) ist \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

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Eine Funktion \( f(x) \) wird längs der x-Achse gestaucht oder gestreckt, indem du das Argument der Funktion mit einem Faktor \( a \) multiplizierst: - **Streckung entlang der x-Achse:** \(... [mehr]

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Eine Funktion \( f(x) \) wird längs der x-Achse gestaucht oder gestreckt, indem du das Argument der Funktion mit einem Faktor \( a \) multiplizierst: - **Streckung entlang der x-Achse:** \( f\left(\frac{x}{a}\right) \) mit \( |a| > 1 \) Die Funktion wird um den Faktor \( a \) in x-Richtung gestreckt. - **Stauchung entlang der x-Achse:** \( f\left(\frac{x}{a}\right) \) mit \( 0 < |a| < 1 \) Die Funktion wird um den Faktor \( a \) in x-Richtung gestaucht. **Merke:** Multiplizierst du das \( x \) im Argument von \( f \) mit einem Wert größer als 1, wird die Funktion gestaucht; teilst du durch einen Wert größer als 1 (bzw. multiplizierst mit einem Wert zwischen 0 und 1), wird sie gestreckt.

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Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen oder Ungleichungen, bei denen die Lösungsmenge erhalten bleibt. Das Ziel ist, die Gleichung so umzuformen, dass sie leichter zu lö... [mehr]

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Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen oder Ungleichungen, bei denen die Lösungsmenge erhalten bleibt. Das Ziel ist, die Gleichung so umzuformen, dass sie leichter zu lösen ist, ohne dass sich die Lösungen ändern. Hier sind die wichtigsten Regeln: 1. **Addition/Subtraktion**: Du kannst auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren. Beispiel: \( x + 3 = 7 \) \(\rightarrow x + 3 - 3 = 7 - 3 \) \(\rightarrow x = 4 \) 2. **Multiplikation/Division**: Du kannst beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl (außer 0) multiplizieren oder durch sie teilen. Beispiel: \( 2x = 8 \) \(\rightarrow \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \) \(\rightarrow x = 4 \) 3. **Klammern auflösen**: Klammern können mit Hilfe des Distributivgesetzes aufgelöst werden. Beispiel: \( 2(x + 3) = 8 \) \(\rightarrow 2x + 6 = 8 \) 4. **Zusammenfassen von Termen**: Gleiche Terme auf einer Seite zusammenfassen. Beispiel: \( x + x = 6 \) \(\rightarrow 2x = 6 \) 5. **Unbekannte auf eine Seite bringen**: Alle Variablen auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere. Beispiel: \( x + 2 = 3x - 4 \) \(\rightarrow x - 3x = -4 - 2 \) \(\rightarrow -2x = -6 \) **Wichtig:** Bei Ungleichungen (>, <, ≥, ≤) musst du beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umdrehen. **Zusammengefasst:** Bei jeder Umformung musst du die Gleichung so behandeln, dass die Lösungsmenge gleich bleibt. Das erreichst du, indem du auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Rechenoperation ausführst. Weitere Infos findest du z.B. bei [Serlo Mathematik](https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/gleichungen/aequivalenzumformungen).

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Die Gleichung lautet: \( 3x + 7 - 5x - 1 = 0 \) **1. Äquivalenzumformungen:** Zuerst gleichartige Terme zusammenfassen: \( 3x - 5x + 7 - 1 = 0 \) \( -2x + 6 = 0 \) Nun die Gleichung nach... [mehr]

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Die Gleichung lautet: \( 3x + 7 - 5x - 1 = 0 \) **1. Äquivalenzumformungen:** Zuerst gleichartige Terme zusammenfassen: \( 3x - 5x + 7 - 1 = 0 \) \( -2x + 6 = 0 \) Nun die Gleichung nach \( x \) umstellen: \( -2x + 6 = 0 \) \( -2x = -6 \) \( x = \frac{-6}{-2} \) \( x = 3 \) **2. Probe:** Setze \( x = 3 \) in die Ausgangsgleichung ein: \( 3 \cdot 3 + 7 - 5 \cdot 3 - 1 = ? \) \( 9 + 7 - 15 - 1 = ? \) \( 16 - 15 - 1 = ? \) \( 1 - 1 = 0 \) **Ergebnis:** Die Lösung ist \( x = 3 \). Die Probe stimmt.

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Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer mathematischen Gleichung oder Aussage, bei der die Lösungsmenge unverändert bleibt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung... [mehr]

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Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer mathematischen Gleichung oder Aussage, bei der die Lösungsmenge unverändert bleibt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung und die umgeformte Gleichung genau die gleichen Lösungen haben. Äquivalenzumformungen werden häufig beim Lösen von Gleichungen verwendet, zum Beispiel durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division beider Seiten der Gleichung mit derselben Zahl (außer Null bei Division), oder durch Anwenden gleicher Operationen auf beiden Seiten. Ziel ist es, die Gleichung schrittweise zu vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern.

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Die binomischen Formeln sind wichtige algebraische Identitäten, die das Quadrat und das Produkt von zwei Binomen beschreiben. Es gibt drei grundlegende binomische Formeln: 1. **Erste binomische... [mehr]

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Die binomischen Formeln sind wichtige algebraische Identitäten, die das Quadrat und das Produkt von zwei Binomen beschreiben. Es gibt drei grundlegende binomische Formeln: 1. **Erste binomische Formel**: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 2. **Zweite binomische Formel**: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) 3. **Dritte binomische Formel**: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) Diese Formeln sind nützlich für das Vereinfachen von Ausdrücken und das Lösen von Gleichungen.