Wie leitet man die Ellipsengleichung her?

**Ja: Die Ellipsengleichung folgt direkt aus der Definition „Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten ist konstant“; daraus ergibt sich nach Umformen die Standardform \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\).** ## Herleitung Lege die Ellipse so ins Koordinatensystem, dass ihre Brennpunkte bei \[ F_1=(-c,0), \qquad F_2=(c,0) \] liegen. Ein Punkt \(P=(x,y)\) liegt genau dann auf der Ellipse, wenn die Summe seiner Abstände zu den Brennpunkten konstant ist, also \[ |PF_1|+|PF_2|=2a \] mit \(a>c\). Die beiden Abstände sind: \[ |PF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2} \] \[ |PF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2} \] Damit gilt: \[ \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a \] ## Umformen Bringe eine Wurzel auf die andere Seite: \[ \sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2} \] Quadrieren: \[ (x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2 \] Kürzen und zusammenfassen: \[ x^2+2cx+c^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + x^2-2cx+c^2 \] \[ 4cx = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} \] Durch 4 teilen: \[ cx = a^2 - a\sqrt{(x-c)^2+y^2} \] Nach der Wurzel auflösen: \[ a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx \] \[ \sqrt{(x-c)^2+y^2}=\frac{a^2-cx}{a} \] Noch einmal quadrieren: \[ (x-c)^2+y^2=\frac{(a^2-cx)^2}{a^2} \] Mit \(a^2\) multiplizieren: \[ a^2\big((x-c)^2+y^2\big)=(a^2-cx)^2 \] Ausmultiplizieren: \[ a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)=a^4-2a^2cx+c^2x^2 \] Die Terme \(-2a^2cx\) fallen weg: \[ a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2=a^4+c^2x^2 \] Nach \(x^2\) ordnen: \[ (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) \] Jetzt setzt man \[ b^2=a^2-c^2 \] Dann wird daraus: \[ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 \] Durch \(a^2b^2\) teilen: \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \] ## Ergebnis Die Standardform der Ellipse lautet also: \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \] mit \[ b^2=a^2-c^2 \] ## Wichtiger Punkt Der entscheidende Unterschied zum Kreis ist: Beim Kreis ist der Abstand zu **einem** Mittelpunkt konstant, bei der Ellipse ist die **Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten** konstant. Gerade daraus entsteht, dass in der Gleichung zwei verschiedene Nenner \(a^2\) und \(b^2\) auftauchen. ## Anschauliche Bedeutung der Größen - \(a\): halbe große Achse - \(b\): halbe kleine Achse - \(c\): Abstand vom Mittelpunkt zum Brennpunkt - Zusammenhang: \[ c^2=a^2-b^2 \] Das ist praktisch die Schlüsselformel, weil sie Geometrie und Gleichung direkt verbindet. Wenn die Brennpunkte stattdessen auf der \(y\)-Achse liegen, lautet die Gleichung entsprechend: \[ \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 \]