111 Fragen zu Faktorisierung

Um den angegebenen Faktor aus dem Ausdruck \( 18x^2 - 32x \) zu verfeinern, kannst du zunächst den größten gemeinsamen Faktor (GGF) der beiden Terme finden. 1. Bestimme den GGF von \( 18 \) und \( 32 \). Der GGF ist \( 2 \). 2. Bestimme den GGF der Variablen \( x^2 \) und \( x \). Der GGF ist \( x \). Somit ist der gesamte GGF \( 2x \). Jetzt kannst du den Ausdruck faktorisieren: \[ 18x^2 - 32x = 2x(9x - 16) \] Der faktorisierte Ausdruck ist also \( 2x(9x - 16) \).

Um den Ausdruck \( ab^2 - 2ab + a \ zu faktorisieren, kannst du zunächst den gemeinsamen Faktor \( a \) herausziehen: \[ ab^2 - 2ab + a = a(b^2 - 2b + 1) \] Der Ausdruck in der Klammer \( b^2 - 2b + 1 \) ist ein Quadrat eines Binoms: \[ b^2 - 2b + 1 = (b - 1)^2 \] Somit ergibt sich die vollständige Faktorisierung: \[ ab^2 - 2ab + a = a(b - 1)^2 \]

Um den Ausdruck \(36p + 48pq\) in Faktoren zu zerlegen und auszuklammern, folge diesen Schritten: 1. Bestimme den größten gemeinsamen Faktor (GGF) der beiden Terme. Der GGF von 36 und 48 ist 12. Außerdem ist \(p\) der gemeinsame Faktor in beiden Termen. 2. Schreibe die Terme unter Berücksichtigung des GGF: \[ 36p + 48pq = 12p \cdot 3 + 12p \cdot 4q \] 3. Klammere den gemeinsamen Faktor \(12p\) aus: \[ 12p(3 + 4q) \] Das Ergebnis ist also: \[ 36p + 48pq = 12p(3 + 4q) \]

Um den Ausdruck \(14a + 21b - 49\) zu faktorisieren, kannst du zunächst den größten gemeinsamen Faktor (GGF) der Koeffizienten finden. Die Koeffizienten sind 14, 21 und -49. Der GGF dieser Zahlen ist 7. Nun kannst du den Ausdruck faktorisieren: \[ 14a + 21b - 49 = 7(2a + 3b - 7) \] Der faktorisierte Ausdruck ist also \(7(2a + 3b - 7)\).

Die dritte Binomische Formel lautet: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \). In deinem Fall ist \( a = r \) und \( b = s \). Daher kann der Ausdruck \( r^2 - s^2 \) wie folgt faktorisiert werden: \[ r^2 - s^2 = (r - s)(r + s) \] Das ist die faktorisierte Form des gegebenen Ausdrucks.

Der Ausdruck \(x^2 - 9y^2\) kann als Differenz von Quadraten betrachtet werden. Die binomische Formel für die Differenz von Quadraten lautet: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] In deinem Fall ist \(a = x\) und \(b = 3y\). Daher kann der Ausdruck umgeschrieben werden als: \[ x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y) \] Das Produkt von \(x^2 - 9y^2\) ist also: \[ (x - 3y)(x + 3y) \]

Um den Ausdruck \(64r^2s^2 + 56rs^3\) auszuklammern, suchst du nach dem größten gemeinsamen Faktor (GGF) der beiden Terme. 1. Bestimme den GGF der Koeffizienten: - Der GGF von 64 und 56 ist 8. 2. Bestimme die gemeinsamen Variablen: - Der kleinste Exponent von \(r\) ist \(r^1\) (also \(r\)). - Der kleinste Exponent von \(s\) ist \(s^2\) (also \(s^2\)). Der GGF des gesamten Ausdrucks ist also \(8rs^2\). Nun kannst du den Ausdruck ausklammern: \[ 64r^2s^2 + 56rs^3 = 8rs^2(8r + 7s) \] Das Ergebnis ist also: \[ 8rs^2(8r + 7s) \]

Der Ausdruck \(9x^2 - 49\) kann als Differenz von Quadraten geschrieben werden. Die allgemeine Formel für die Differenz von Quadraten lautet \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). In diesem Fall ist \(a = 3x\) und \(b = 7\), da \(9x^2 = (3x)^2\) und \(49 = 7^2\). Daher kann der Ausdruck wie folgt faktorisieren werden: \[9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)\]

Um die Nullstellen der quadratischen Gleichung \(4x^2 - 20x + 24 = 0\) zu finden, kannst du die Gleichung faktorisieren. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess: 1. **Gleichung in Standardform schreiben:** \[4x^2 - 20x + 24 = 0\] 2. **Gemeinsamen Faktor ausklammern:** Da alle Koeffizienten durch 4 teilbar sind, kannst du 4 ausklammern: \[4(x^2 - 5x + 6) = 0\] 3. **Quadratische Gleichung faktorisieren:** Jetzt musst du die quadratische Gleichung \(x^2 - 5x + 6\) faktorisieren. Suche zwei Zahlen, die multipliziert 6 und addiert -5 ergeben. Diese Zahlen sind -2 und -3. \[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\] 4. **Faktorisierte Form aufschreiben:** Setze die faktorisierte Form in die Gleichung ein: \[4(x - 2)(x - 3) = 0\] 5. **Nullstellen finden:** Setze jeden Faktor gleich Null und löse nach \(x\) auf: \[x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2\] \[x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3\] Die Nullstellen der Gleichung \(4x^2 - 20x + 24 = 0\) sind also \(x = 2\) und \(x = 3\).

Um die quadratische Gleichung \(5x^2 - 10x + 5 = 0\) zu faktorisieren, kann man zunächst den gemeinsamen Faktor herausziehen: \[5(x^2 - 2x + 1) = 0\] Dann kann man den Ausdruck in der Klammer weiter faktorisieren: \[x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\] Somit erhält man: \[5(x - 1)^2 = 0\] Die faktorisierte Form der Gleichung ist also: \[5(x - 1)^2 = 0\]

Um die quadratische Gleichung \(5x^2 - 10x + 5 = 0\) in zwei Klammern zu schreiben, kann man zunächst versuchen, sie zu faktorisieren. 1. **Gleichung vereinfachen**: \[5x^2 - 10x + 5 = 0\] Man kann die Gleichung durch 5 teilen: \[x^2 - 2x + 1 = 0\] 2. **Quadratische Gleichung faktorisieren**: \[x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\] Die faktorisierte Form der Gleichung ist also: \[(x - 1)(x - 1) = 0\] Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung \(5x^2 - 10x + 5 = 0\) in zwei Klammern geschrieben werden kann als: \[5(x - 1)(x - 1) = 0\]

Um die Gleichung \((x^2 - 4x - 5) \cdot (x - 8) = 0\) zu lösen, müssen die Nullstellen der beiden Faktoren gefunden werden. Eine Gleichung ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. 1. Setze den ersten Faktor gleich null: \(x^2 - 4x - 5 = 0\) Diese quadratische Gleichung kann durch Faktorisierung gelöst werden: \((x - 5)(x + 1) = 0\) Daraus ergeben sich die Nullstellen: \(x = 5\) und \(x = -1\) 2. Setze den zweiten Faktor gleich null: \(x - 8 = 0\) Daraus ergibt sich die Nullstelle: \(x = 8\) Die Lösungen der Gleichung \((x^2 - 4x - 5) \cdot (x - 8) = 0\) sind also: \[ x = 5, \, x = -1, \, x = 8 \]

Die quadratische Gleichung \(10x^2 - 10x + 5 = 0\) kann nicht direkt in eine faktorisierte Form mit ganzen Zahlen gesetzt werden. Stattdessen kann die quadratische Formel verwendet werden, um die Lösungen zu finden: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Für die Gleichung \(10x^2 - 10x + 5 = 0\) sind die Koeffizienten: - \(a = 10\) - \(b = -10\) - \(c = 5\) Setze diese Werte in die quadratische Formel ein: \[x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 5}}{2 \cdot 10}\] \[x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 200}}{20}\] \[x = \frac{10 \pm \sqrt{-100}}{20}\] \[x = \frac{10 \pm 10i}{20}\] \[x = \frac{10(1 \pm i)}{20}\] \[x = \frac{1 \pm i}{2}\] Die Lösungen sind also: \[x = \frac{1 + i}{2}\] \[x = \frac{1 - i}{2}\] Da die Lösungen komplex sind, kann die Gleichung nicht in eine einfache faktorisierte Form mit reellen Zahlen gesetzt werden.

Die quadratische Gleichung \(10x^2 - 10x + 5 = 0\) kann nicht direkt in zwei Klammern gesetzt werden, da sie nicht einfach faktorisierbar ist. Stattdessen kann die quadratische Lösungsformel verwendet werden, um die Lösungen zu finden: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Für die Gleichung \(10x^2 - 10x + 5 = 0\) sind die Koeffizienten: - \(a = 10\) - \(b = -10\) - \(c = 5\) Setze diese Werte in die Formel ein: \[x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 5}}{2 \cdot 10}\] \[x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 200}}{20}\] \[x = \frac{10 \pm \sqrt{-100}}{20}\] \[x = \frac{10 \pm 10i}{20}\] \[x = \frac{10}{20} \pm \frac{10i}{20}\] \[x = \frac{1}{2} \pm \frac{i}{2}\] Die Lösungen sind also \(x = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\) und \(x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\). Da die Lösungen komplex sind, kann die Gleichung nicht in zwei reelle Klammern faktorisieren.

Der Ausdruck \(20b^2 + 60b + 45\) kann als Produkt von zwei binomischen Ausdrücken faktorisieren werden. Zunächst wird der Ausdruck in eine Form gebracht, die das Faktorisieren erleichtert: 1. Den Ausdruck in der Form \(ax^2 + bx + c\) betrachten, wobei \(a = 20\), \(b = 60\) und \(c = 45\). 2. Den größten gemeinsamen Teiler (GGT) der Koeffizienten bestimmen. In diesem Fall ist der GGT 5. Der Ausdruck kann also wie folgt geschrieben werden: \[20b^2 + 60b + 45 = 5(4b^2 + 12b + 9)\] Nun wird der Ausdruck \(4b^2 + 12b + 9\) faktorisieren: 1. Die Faktoren von \(4b^2\) und \(9\) finden, die zusammen \(12b\) ergeben. 2. \(4b^2\) kann als \((2b)^2\) und \(9\) als \(3^2\) geschrieben werden. Der Ausdruck kann als Quadrat eines Binoms geschrieben werden: \[4b^2 + 12b + 9 = (2b + 3)^2\] Somit ergibt sich: \[20b^2 + 60b + 45 = 5(2b + 3)^2\] Das Produkt ist also: \[5(2b + 3)^2\]