17 Fragen zu Surjektiv

Um die Abbildung \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) definiert durch \( f(x, y) = x^2 - y \) zu analysieren, betrachten wir die Injektivität und Surjektivität. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn \( f(a) = f(b) \) nur dann gilt, wenn \( a = b \). Nehmen wir an, \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \). Das bedeutet: \[ x_1^2 - y_1 = x_2^2 - y_2. \] Daraus folgt: \[ x_1^2 - x_2^2 = y_1 - y_2. \] Dies kann umgeschrieben werden zu: \[ (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = y_1 - y_2. \] Es ist möglich, dass \( x_1 \neq x_2 \) und trotzdem \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \) gilt, z.B. wenn \( x_1 = 1, y_1 = 0 \) und \( x_2 = -1, y_2 = 2 \). Daher ist die Funktion nicht injektiv. 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( z \in \mathbb{Z} \) ein Paar \( (x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) existiert, sodass \( f(x, y) = z \). Setze \( z = x^2 - y \) umzustellen ergibt: \[ y = x^2 - z. \] Für jedes \( z \) und jedes \( x \in \mathbb{Z} \) können wir ein \( y \) finden, das ebenfalls in \( \mathbb{Z} \) liegt. Somit ist die Funktion surjektiv. Zusammenfassend ist die Abbildung \( f(x, y) = x^2 - y \) **nur surjektiv**.

Um zu prüfen, ob die Abbildung \( F: \text{Pot}(M) \to \text{Pot}(M) \) definiert durch \( F(T) = \{ f(x) \mid x \in T \} \) surjektiv ist, wenn \( f \) surjektiv ist, betrachten wir die Definition der Surjektivität. Eine Funktion \( f: A \to B \) ist surjektiv, wenn für jedes \( b \in B \) ein \( a \in A \) existiert, sodass \( f(a) = b \). Angenommen, \( f \) ist surjektiv, das bedeutet, dass für jedes \( y \in M \) ein \( x \in M \) existiert, sodass \( f(x) = y \). Nun betrachten wir die Abbildung \( F \). Um zu zeigen, dass \( F \) surjektiv ist, müssen wir zeigen, dass für jede Teilmenge \( S \subseteq M \) ein \( T \subseteq M \) existiert, sodass \( F(T) = S \). Sei \( S \subseteq M \) gegeben. Da \( f \) surjektiv ist, gibt es für jedes \( s \in S \) ein \( x_s \in M \), sodass \( f(x_s) = s \). Wir können die Menge \( T = \{ x_s \mid s \in S \} \) bilden. Dann gilt: \[ F(T) = \{ f(x) \mid x \in T \} = \{ f(x_s) \mid s \in S \} = S. \] Somit ist für jede Teilmenge \( S \subseteq M \) ein entsprechendes \( T \subseteq M \) gefunden worden, sodass \( F(T) = S \). Daraus folgt, dass die Abbildung \( F \) surjektiv ist, wenn \( f \) surjektiv ist.

Um zu bestimmen, ob die Abbildung \( f: \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) definiert durch \( f(x,y) = (x^2, x - y) \) injektiv, surjektiv, injektiv und surjektiv oder keines von beiden ist, analysieren wir die Eigenschaften der Funktion. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingaben verschiedene Ausgaben erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \), dann muss gelten, dass \( (x_1, y_1) = (x_2, y_2) \). Angenommen, \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \). Das führt zu den Gleichungen: \[ x_1^2 = x_2^2 \quad \text{und} \quad x_1 - y_1 = x_2 - y_2. \] Aus \( x_1^2 = x_2^2 \) folgt, dass \( x_1 = x_2 \) oder \( x_1 = -x_2 \). Wenn \( x_1 = x_2 \), dann ergibt sich aus der zweiten Gleichung \( y_1 = y_2 \). Wenn jedoch \( x_1 = -x_2 \), dann kann \( y_1 \) und \( y_2 \) beliebige Werte annehmen, was bedeutet, dass die Funktion nicht injektiv ist. 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes Element \( (a, b) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) ein Element \( (x, y) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) existiert, sodass \( f(x, y) = (a, b) \). Um zu überprüfen, ob \( (a, b) \) ein Bild von \( f \) ist, setzen wir \( f(x, y) = (a, b) \): \[ x^2 = a \quad \text{und} \quad x - y = b. \] Aus der ersten Gleichung folgt \( x = \sqrt{a} \) oder \( x = -\sqrt{a} \). Für \( x = \sqrt{a} \) ergibt sich \( y = x - b = \sqrt{a} - b \). Für \( x = -\sqrt{a} \) ergibt sich \( y = -\sqrt{a} - b \). Da \( a \) jedoch nicht immer ein Quadrat in \( \mathbb{Q} \) ist (z.B. \( a = 2 \)), gibt es Werte von \( (a, b) \), für die kein \( (x, y) \) existiert, sodass \( f(x, y) = (a, b) \). Daher ist die Funktion nicht surjektiv. Zusammenfassend ist die Abbildung \( f \) weder injektiv noch surjektiv.

Um zu bestimmen, ob die Funktion \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) definiert durch \( f(x, y) = x^2 + 2y \) injektiv, surjektiv, beides oder keines von beiden ist, analysieren wir die Eigenschaften der Funktion. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \), dann muss gelten, dass \( (x_1, y_1) = (x_2, y_2) \). Angenommen, \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \). Das führt zu: \[ x_1^2 + 2y_1 = x_2^2 + 2y_2 \] Daraus folgt: \[ x_1^2 - x_2^2 = 2(y_2 - y_1) \] Es ist möglich, dass \( x_1 \neq x_2 \) und dennoch die Gleichung erfüllt ist. Zum Beispiel, wenn \( x_1 = 1 \) und \( x_2 = -1 \), dann ist \( 1^2 - (-1)^2 = 0 \), was bedeutet, dass \( y_1 \) und \( y_2 \) beliebige Werte annehmen können, solange \( y_2 - y_1 = 0 \). Daher ist die Funktion nicht injektiv. 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( z \in \mathbb{Z} \) ein Paar \( (x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) existiert, sodass \( f(x, y) = z \). Um zu zeigen, dass \( f \) surjektiv ist, nehmen wir ein beliebiges \( z \in \mathbb{Z} \) und setzen \( x = 0 \). Dann erhalten wir: \[ f(0, y) = 0^2 + 2y = 2y \] Um \( z \) zu erreichen, setzen wir \( y = \frac{z}{2} \). Wenn \( z \) gerade ist, ist \( y \) eine ganze Zahl. Wenn \( z \) ungerade ist, können wir \( x = 1 \) und \( y = \frac{z - 1}{2} \) wählen, was ebenfalls eine ganze Zahl ergibt. Somit kann für jedes \( z \in \mathbb{Z} \) ein passendes \( (x, y) \) gefunden werden, sodass \( f(x, y) = z \). Daher ist die Funktion surjektiv. Zusammenfassend ist die Funktion \( f(x, y) = x^2 + 2y \) **nur surjektiv**.

Ja, die Funktion \( f(x) = x + 3 \) ist surjektiv. Eine Funktion ist surjektiv (oder "auf"), wenn jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Das bedeutet, für jede Zahl \( y \) in der Zielmenge muss es mindestens ein \( x \) in der Definitionsmenge geben, so dass \( f(x) = y \). Für \( f(x) = x + 3 \) gilt: - Definitionsmenge: \(\mathbb{R}\) (die Menge der reellen Zahlen) - Zielmenge: \(\mathbb{R}\) Um zu zeigen, dass \( f \) surjektiv ist, muss für jedes \( y \in \mathbb{R} \) ein \( x \in \mathbb{R} \) gefunden werden, so dass \( f(x) = y \). Setze \( y = x + 3 \). Um \( x \) zu finden, löse die Gleichung nach \( x \) auf: \[ x = y - 3 \] Da \( y \) jede reelle Zahl sein kann und \( x = y - 3 \) ebenfalls eine reelle Zahl ist, gibt es für jedes \( y \in \mathbb{R} \) ein \( x \in \mathbb{R} \), so dass \( f(x) = y \). Daher ist die Funktion \( f(x) = x + 3 \) surjektiv.

Die gegebene Abbildung ist \( g: \mathbb{R} \to [0, \infty), x \mapsto x^2 \). 1. **Wertebereich**: Der Wertebereich von \( g \) ist \( [0, \infty) \), da das Quadrat einer reellen Zahl immer nicht negativ ist. 2. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Für \( g(x_1) = g(x_2) \) gilt: \[ x_1^2 = x_2^2 \implies x_1 = x_2 \text{ oder } x_1 = -x_2. \] Da es also zwei verschiedene \( x \) (z.B. \( x \) und \( -x \)) geben kann, für die \( g(x) = g(-x) \), ist die Funktion nicht injektiv. 3. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder Wert im Zielbereich erreicht wird. Da für jedes \( y \in [0, \infty) \) ein \( x \in \mathbb{R} \) existiert (nämlich \( x = \sqrt{y} \) oder \( x = -\sqrt{y} \)), das \( g(x) = y \) erfüllt, ist die Funktion surjektiv. 4. **Bijektivität**: Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Da \( g \) nicht injektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv. Zusammenfassend: - Wertebereich: \( [0, \infty) \) - Injektiv: Nein - Surjektiv: Ja - Bijektiv: Nein

Um die Abbildung \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \) definiert durch \( f(a, b) = ab \) zu analysieren, betrachten wir die Eigenschaften Injektivität und Surjektivität. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2) \), dann muss gelten, dass \( (a_1, b_1) = (a_2, b_2) \). In diesem Fall könnte \( f(1, 2) = 2 \) und \( f(2, 1) = 2 \) sein, was zeigt, dass die Abbildung nicht injektiv ist, da unterschiedliche Paare \( (1, 2) \) und \( (2, 1) \) denselben Wert erzeugen. 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes Element \( q \in \mathbb{Q} \) ein Paar \( (a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \) existiert, sodass \( f(a, b) = q \). Da \( \mathbb{Q} \) alle rationalen Zahlen umfasst, und \( ab \) nur die Produkte von ganzen Zahlen und natürlichen Zahlen erzeugt, ist es nicht möglich, alle rationalen Zahlen zu erreichen. Zum Beispiel kann \( f(a, b) \) niemals einen Wert wie \( \frac{1}{2} \) annehmen, da \( a \) ganzzahlig und \( b \) natürlich ist. Zusammenfassend ist die Abbildung \( f(a, b) = ab \) weder injektiv noch surjektiv.

Ja, die Funktion \( f(x) = 3x + 5 \) ist surjektiv. Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes Element \( y \) im Zielbereich \( \mathbb{R} \) ein Element \( x \) im Definitionsbereich \( \mathbb{R} \) existiert, sodass \( f(x) = y \). Um zu zeigen, dass \( f \) surjektiv ist, setzen wir \( y = f(x) \): \[ y = 3x + 5 \] Um \( x \) in Abhängigkeit von \( y \) zu finden, lösen wir die Gleichung nach \( x \) auf: \[ y - 5 = 3x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{y - 5}{3} \] Da \( y \) beliebig gewählt werden kann, gibt es für jedes \( y \) ein entsprechendes \( x \), das die Gleichung erfüllt. Daher ist die Funktion surjektiv.

Ja, die Funktion \( f(x) = x + 3 \) ist surjektiv. Eine Funktion ist surjektiv (oder "auf"), wenn jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Das bedeutet, für jede Zahl \( y \) in der Zielmenge muss es ein \( x \) in der Definitionsmenge geben, so dass \( f(x) = y \). Für \( f(x) = x + 3 \) ist die Zielmenge normalerweise die Menge der reellen Zahlen \( \mathbb{R} \). Um zu zeigen, dass \( f \) surjektiv ist, muss für jedes \( y \in \mathbb{R} \) ein \( x \in \mathbb{R} \) gefunden werden, so dass \( f(x) = y \). Nehmen wir ein beliebiges \( y \in \mathbb{R} \). Wir müssen ein \( x \) finden, so dass: \[ f(x) = y \] \[ x + 3 = y \] \[ x = y - 3 \] Da \( y \) beliebig gewählt wurde und \( y - 3 \) ebenfalls eine reelle Zahl ist, gibt es für jedes \( y \in \mathbb{R} \) ein \( x \in \mathbb{R} \), nämlich \( x = y - 3 \), so dass \( f(x) = y \). Beispiel: Nehmen wir \( y = 5 \). Dann ist \( x = 5 - 3 = 2 \). Und tatsächlich: \[ f(2) = 2 + 3 = 5 \] Da dies für jedes \( y \in \mathbb{R} \) funktioniert, ist die Funktion \( f(x) = x + 3 \) surjektiv.

Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) ist weder subjektiv noch injektiv. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv (oder eineindeutig), wenn verschiedene Elemente des Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente des Wertebereichs abgebildet werden. Das bedeutet, dass \( f(a) = f(b) \) nur dann gilt, wenn \( a = b \). Für \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) gilt jedoch: \[ f(a) = f(b) \implies \frac{1}{a^2} = \frac{1}{b^2} \implies a^2 = b^2 \implies a = b \text{ oder } a = -b \] Das bedeutet, dass \( f(x) \) nicht injektiv ist, da \( f(a) = f(-a) \) für \( a \neq 0 \). 2. **Subjektivität**: Eine Funktion ist subjektiv (oder surjektiv), wenn jedes Element des Wertebereichs von mindestens einem Element des Definitionsbereichs getroffen wird. Das bedeutet, dass für jedes \( y \) im Wertebereich ein \( x \) im Definitionsbereich existiert, sodass \( f(x) = y \). Der Wertebereich von \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) ist \( (0, \infty) \), da \( \frac{1}{x^2} \) immer positiv ist und gegen unendlich geht, wenn \( x \) gegen 0 geht. Es gibt jedoch keine \( x \), sodass \( f(x) = 0 \) oder ein negatives \( y \) erreicht wird. Daher ist die Funktion nicht surjektiv auf \( \mathbb{R} \) oder \( \mathbb{R}^+ \). Zusammengefasst: \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) ist weder injektiv noch subjektiv.

Um zu überprüfen, ob die Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ \) mit \( f(x) = 3x^2 + 2 \) surjektiv ist, müssen wir feststellen, ob für jedes \( y \in \mathbb{R}^+ \) ein \( x \in \mathbb{R} \) existiert, sodass \( f(x) = y \). Die Funktion \( f(x) = 3x^2 + 2 \) hat folgende Eigenschaften: 1. Der Ausdruck \( 3x^2 \) ist immer nicht negativ, da das Quadrat einer reellen Zahl immer größer oder gleich null ist. 2. Daher ist \( f(x) \) immer größer oder gleich 2, da der kleinste Wert von \( 3x^2 \) bei \( x = 0 \) erreicht wird, was \( f(0) = 2 \) ergibt. Das bedeutet, dass der Wertebereich von \( f(x) \) die Menge \( [2, \infty) \) ist. Da \( \mathbb{R}^+ \) die Menge aller positiven reellen Zahlen ist, die bei 0 beginnt und bis unendlich reicht, ist \( \mathbb{R}^+ = (0, \infty) \). Da \( f(x) \) niemals Werte kleiner als 2 annehmen kann, gibt es kein \( x \in \mathbb{R} \), für das \( f(x) \) einen Wert in \( (0, 2) \) annehmen kann. Somit ist die Funktion \( f(x) = 3x^2 + 2 \) nicht surjektiv auf \( \mathbb{R}^+ \).

Um zu bestimmen, ob die Funktion \( f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \) definiert durch \( f(x) = 3x + 4 \) injektiv und surjektiv ist, betrachten wir beide Eigenschaften: 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(x_1) = f(x_2) \), dann muss \( x_1 = x_2 \) gelten. Angenommen, \( f(x_1) = f(x_2) \): \[ 3x_1 + 4 = 3x_2 + 4 \] Subtrahiere 4 von beiden Seiten: \[ 3x_1 = 3x_2 \] Teile durch 3: \[ x_1 = x_2 \] Da dies für beliebige \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt, ist die Funktion injektiv. 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( y \in \mathbb{Q} \) ein \( x \in \mathbb{Q} \) existiert, sodass \( f(x) = y \). Setze \( y = f(x) = 3x + 4 \) und löse nach \( x \): \[ y = 3x + 4 \implies 3x = y - 4 \implies x = \frac{y - 4}{3} \] Da \( y \) beliebig gewählt werden kann und \( \frac{y - 4}{3} \) immer ein rationaler Wert ist, ist die Funktion surjektiv. Zusammenfassend ist die Funktion \( f(x) = 3x + 4 \) sowohl injektiv als auch surjektiv. Daher ist sie bijektiv.

Um zu bestimmen, ob die Abbildung \( f: \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) definiert durch \( f(x,y) = (x^2 + y^2, x - y) \) injektiv, surjektiv oder beides ist, analysieren wir die Eigenschaften der Funktion. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn \( f(a) = f(b) \) nur dann gilt, wenn \( a = b \). Angenommen, \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \). Das bedeutet: \[ (x_1^2 + y_1^2, x_1 - y_1) = (x_2^2 + y_2^2, x_2 - y_2) \] Daraus folgt: \[ x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \quad \text{und} \quad x_1 - y_1 = x_2 - y_2 \] Aus der zweiten Gleichung folgt \( x_1 = x_2 + (y_1 - y_2) \). Setzen wir dies in die erste Gleichung ein, erhalten wir eine Gleichung, die nicht notwendigerweise zu einer eindeutigen Lösung für \( (x_1, y_1) \) und \( (x_2, y_2) \) führt. Daher ist die Abbildung nicht injektiv. 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( (a, b) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) ein \( (x, y) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) existiert, sodass \( f(x, y) = (a, b) \). Das bedeutet, wir müssen die Gleichungen: \[ x^2 + y^2 = a \quad \text{und} \quad x - y = b \] lösen. Aus der zweiten Gleichung folgt \( y = x - b \). Setzen wir dies in die erste Gleichung ein: \[ x^2 + (x - b)^2 = a \] Dies vereinfacht sich zu: \[ 2x^2 - 2bx + b^2 = a \] Dies ist eine quadratische Gleichung in \( x \). Die Lösungen existieren, wenn die Diskriminante nicht negativ ist: \[ D = (-2b)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (b^2 - a) = 4b^2 - 8(b^2 - a) = 8a - 4b^2 \] Damit die Gleichung Lösungen in \( \mathbb{Q} \) hat, muss \( 8a - 4b^2 \geq 0 \) sein. Das bedeutet, nicht jedes \( (a, b) \) hat ein Urbild in \( \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \). Daher ist die Abbildung nicht surjektiv. Zusammenfassend ist die Abbildung \( f \) weder injektiv noch surjektiv.

Um die Abbildung \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \), definiert durch \( f(a, b) = \frac{a}{b} \), zu analysieren, betrachten wir die Eigenschaften Injektivität und Surjektivität. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2) \), dann muss gelten, dass \( (a_1, b_1) = (a_2, b_2) \). In diesem Fall könnte \( f(1, 2) = \frac{1}{2} \) und \( f(2, 4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) sein, was zeigt, dass \( f \) nicht injektiv ist, da \( (1, 2) \neq (2, 4) \). 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes Element \( q \in \mathbb{Q} \) ein Paar \( (a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \) existiert, sodass \( f(a, b) = q \). Für jede rationale Zahl \( q = \frac{m}{n} \) (mit \( m \in \mathbb{Z} \) und \( n \in \mathbb{N} \)) kann man das Paar \( (m, n) \) wählen, sodass \( f(m, n) = \frac{m}{n} = q \). Daher ist \( f \) surjektiv. Zusammenfassend ist die Abbildung \( f \) surjektiv, aber nicht injektiv.

In der Analysis 1 sind injektive, surjektive und bijektive Abbildungen wichtige Konzepte, die die Beziehung zwischen zwei Mengen beschreiben. Hier sind die Definitionen: 1. **Injektive Abbildung (Injektion)**: Eine Abbildung \( f: A \rightarrow B \) ist injektiv, wenn verschiedene Elemente aus der Menge \( A \) auf verschiedene Elemente in der Menge \( B \) abgebildet werden. Formal bedeutet das: Wenn \( f(x_1) = f(x_2) \), dann muss \( x_1 = x_2 \) gelten. Das heißt, es gibt keine zwei unterschiedlichen Elemente in \( A \), die auf dasselbe Element in \( B \) abgebildet werden. 2. **Surjektive Abbildung (Surjektion)**: Eine Abbildung \( f: A \rightarrow B \) ist surjektiv, wenn jedes Element in der Menge \( B \) mindestens ein Urbild in der Menge \( A \) hat. Das bedeutet, für jedes \( b \in B \) existiert mindestens ein \( a \in A \), sodass \( f(a) = b \). In anderen Worten, die gesamte Menge \( B \) wird durch die Abbildung \( f \) erreicht. 3. **Bijektive Abbildung (Bijektion)**: Eine Abbildung \( f: A \rightarrow B \) ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Das bedeutet, dass jedes Element in \( A \) auf ein einzigartiges Element in \( B \) abgebildet wird (Injektivität) und dass jedes Element in \( B \) ein Urbild in \( A \) hat (Surjektivität). Bijektive Abbildungen sind besonders wichtig, da sie eine Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen den beiden Mengen herstellen. Zusammenfassend: - Injektiv: Keine zwei Elemente aus \( A \) haben dasselbe Bild in \( B \). - Surjektiv: Jedes Element in \( B \) wird von mindestens einem Element in \( A \) erreicht. - Bijektiv: Jedes Element in \( A \) hat ein einzigartiges Bild in \( B \) und jedes Element in \( B \) hat ein Urbild in \( A \).