Um die Surjektivität einer Funktion schnell zu überprüfen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Definition verstehen**: Eine Funktion \( f: A \to B \) ist surjektiv, wenn fü... [mehr]
Ist die Abbildung f: Z x N -> Q, (a,b) -> a/b injektiv, surjektiv, beides oder keins?
AntwortUm die Abbildung \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \), definiert durch \( f(a, b) = \frac{a}{b} \), zu analysieren, betrachten wir die Eigenschaften Injektivität und Surjektivität. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2) \), dann muss gelten, dass \( (a_1, b_1) = (a_2, b_2) \). In diesem Fall könnte \( f(1, 2) = \frac{1}{2} \) und \( f(2, 4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) sein, was zeigt, dass \( f \) nicht injektiv ist, da \( (1, 2) \neq (2, 4) \). 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes Element \( q \in \mathbb{Q} \) ein Paar \( (a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \) existiert, sodass \( f(a, b) = q \). Für jede rationale Zahl \( q = \frac{m}{n} \) (mit \( m \in \mathbb{Z} \) und \( n \in \mathbb{N} \)) kann man das Paar \( (m, n) \) wählen, sodass \( f(m, n) = \frac{m}{n} = q \). Daher ist \( f \) surjektiv. Zusammenfassend ist die Abbildung \( f \) surjektiv, aber nicht injektiv.
