8 Fragen zu Injektivitaet

Die gegebene Abbildung ist \( g: \mathbb{R} \to [0, \infty) \) definiert durch \( g(x) = x^2 \). 1. **Wertebereich**: Der Wertebereich von \( g \) ist \( [0, \infty) \), da das Quadrat einer reellen Zahl immer nicht negativ ist. Für \( x = 0 \) erhält man \( g(0) = 0 \) und für \( x \to \infty \) geht \( g(x) \) gegen \( \infty \). Somit sind alle Werte im Intervall \( [0, \infty) \) erreichbar. 2. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Für \( g(x) = x^2 \) gilt: - \( g(a) = g(b) \) impliziert \( a^2 = b^2 \), was bedeutet, dass \( a = b \) oder \( a = -b \). - Daher ist \( g \) nicht injektiv, da z.B. \( g(2) = g(-2) = 4 \). 3. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder Wert im Zielbereich mindestens einmal erreicht wird. Da der Wertebereich von \( g \) genau \( [0, \infty) \) ist und alle Werte in diesem Intervall durch geeignete \( x \) (z.B. \( x = \sqrt{y} \) für \( y \geq 0 \)) erreicht werden können, ist \( g \) surjektiv. 4. **Bijektivität**: Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Da \( g \) nicht injektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv. Zusammenfassend: - Wertebereich: \( [0, \infty) \) - Injektiv: Nein - Surjektiv: Ja - Bijektiv: Nein

Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) ist weder subjektiv noch injektiv. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv (oder eineindeutig), wenn verschiedene Elemente des Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente des Wertebereichs abgebildet werden. Das bedeutet, dass \( f(a) = f(b) \) nur dann gilt, wenn \( a = b \). Für \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) gilt jedoch: \[ f(a) = f(b) \implies \frac{1}{a^2} = \frac{1}{b^2} \implies a^2 = b^2 \implies a = b \text{ oder } a = -b \] Das bedeutet, dass \( f(x) \) nicht injektiv ist, da \( f(a) = f(-a) \) für \( a \neq 0 \). 2. **Subjektivität**: Eine Funktion ist subjektiv (oder surjektiv), wenn jedes Element des Wertebereichs von mindestens einem Element des Definitionsbereichs getroffen wird. Das bedeutet, dass für jedes \( y \) im Wertebereich ein \( x \) im Definitionsbereich existiert, sodass \( f(x) = y \). Der Wertebereich von \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) ist \( (0, \infty) \), da \( \frac{1}{x^2} \) immer positiv ist und gegen unendlich geht, wenn \( x \) gegen 0 geht. Es gibt jedoch keine \( x \), sodass \( f(x) = 0 \) oder ein negatives \( y \) erreicht wird. Daher ist die Funktion nicht surjektiv auf \( \mathbb{R} \) oder \( \mathbb{R}^+ \). Zusammengefasst: \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) ist weder injektiv noch subjektiv.

Um zu bestimmen, ob die Funktion \( f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \) definiert durch \( f(x) = 3x + 4 \) injektiv und surjektiv ist, betrachten wir beide Eigenschaften: 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(x_1) = f(x_2) \), dann muss \( x_1 = x_2 \) gelten. Angenommen, \( f(x_1) = f(x_2) \): \[ 3x_1 + 4 = 3x_2 + 4 \] Subtrahiere 4 von beiden Seiten: \[ 3x_1 = 3x_2 \] Teile durch 3: \[ x_1 = x_2 \] Da dies für beliebige \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt, ist die Funktion injektiv. 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( y \in \mathbb{Q} \) ein \( x \in \mathbb{Q} \) existiert, sodass \( f(x) = y \). Setze \( y = f(x) = 3x + 4 \) und löse nach \( x \): \[ y = 3x + 4 \implies 3x = y - 4 \implies x = \frac{y - 4}{3} \] Da \( y \) beliebig gewählt werden kann und \( \frac{y - 4}{3} \) immer ein rationaler Wert ist, ist die Funktion surjektiv. Zusammenfassend ist die Funktion \( f(x) = 3x + 4 \) sowohl injektiv als auch surjektiv. Daher ist sie bijektiv.

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f': X \to f(X) \), definiert durch \( f'(x) = f(x) \), bijektiv ist, wenn \( f: X \to Y \) injektiv ist, müssen wir sowohl die Injektivität als auch die Surjektivität von \( f' \) nachweisen. 1. **Injektivität von \( f' \)**: Eine Funktion ist injektiv, wenn für alle \( x_1, x_2 \in X \) gilt: Wenn \( f'(x_1) = f'(x_2) \), dann muss \( x_1 = x_2 \) sein. Angenommen, \( f'(x_1) = f'(x_2) \). Das bedeutet, dass \( f(x_1) = f(x_2) \). Da \( f \) injektiv ist, folgt daraus, dass \( x_1 = x_2 \). Somit ist \( f' \) injektiv. 2. **Surjektivität von \( f' \)**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( y \in f(X) \) ein \( x \in X \) existiert, sodass \( f'(x) = y \). Sei \( y \in f(X) \). Das bedeutet, dass es ein \( x \in X \) gibt, sodass \( f(x) = y \). Dann gilt \( f'(x) = f(x) = y \). Somit ist \( f' \) surjektiv. Da \( f' \) sowohl injektiv als auch surjektiv ist, folgt, dass \( f' \) bijektiv ist. Damit ist gezeigt, dass wenn \( f: X \to Y \) injektiv ist, dann ist auch \( f': X \to f(X) \) bijektiv.

Um zu bestimmen, ob die Abbildung \( f: \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) definiert durch \( f(x,y) = (x^2, x - y) \) injektiv, surjektiv, injektiv und surjektiv oder keines von beiden ist, analysieren wir die Eigenschaften der Funktion. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingaben verschiedene Ausgaben erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \), dann muss gelten, dass \( (x_1, y_1) = (x_2, y_2) \). Angenommen, \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \). Das führt zu den Gleichungen: \[ x_1^2 = x_2^2 \quad \text{und} \quad x_1 - y_1 = x_2 - y_2. \] Aus \( x_1^2 = x_2^2 \) folgt, dass \( x_1 = x_2 \) oder \( x_1 = -x_2 \). Wenn \( x_1 = x_2 \), dann ergibt sich aus der zweiten Gleichung \( y_1 = y_2 \). Wenn jedoch \( x_1 = -x_2 \), dann kann \( y_1 \) und \( y_2 \) beliebige Werte annehmen, was bedeutet, dass die Funktion nicht injektiv ist. 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes Element \( (a, b) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) ein Element \( (x, y) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) existiert, sodass \( f(x, y) = (a, b) \). Um zu überprüfen, ob \( (a, b) \) ein Bild von \( f \) ist, setzen wir \( f(x, y) = (a, b) \): \[ x^2 = a \quad \text{und} \quad x - y = b. \] Aus der ersten Gleichung folgt \( x = \sqrt{a} \) oder \( x = -\sqrt{a} \). Für \( x = \sqrt{a} \) ergibt sich \( y = x - b = \sqrt{a} - b \). Für \( x = -\sqrt{a} \) ergibt sich \( y = -\sqrt{a} - b \). Da \( a \) jedoch nicht immer ein Quadrat in \( \mathbb{Q} \) ist (z.B. \( a = 2 \)), gibt es Werte von \( (a, b) \), für die kein \( (x, y) \) existiert, sodass \( f(x, y) = (a, b) \). Daher ist die Funktion nicht surjektiv. Zusammenfassend ist die Abbildung \( f \) weder injektiv noch surjektiv.

Um zu bestimmen, ob die Funktion \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) definiert durch \( f(x, y) = x^2 + 2y \) injektiv, surjektiv, beides oder keines von beiden ist, analysieren wir die Eigenschaften der Funktion. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \), dann muss gelten, dass \( (x_1, y_1) = (x_2, y_2) \). Angenommen, \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \). Das führt zu: \[ x_1^2 + 2y_1 = x_2^2 + 2y_2 \] Daraus folgt: \[ x_1^2 - x_2^2 = 2(y_2 - y_1) \] Es ist möglich, dass \( x_1 \neq x_2 \) und dennoch die Gleichung erfüllt ist. Zum Beispiel, wenn \( x_1 = 1 \) und \( x_2 = -1 \), dann ist \( 1^2 - (-1)^2 = 0 \), was bedeutet, dass \( y_1 \) und \( y_2 \) beliebige Werte annehmen können, solange \( y_2 - y_1 = 0 \). Daher ist die Funktion nicht injektiv. 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( z \in \mathbb{Z} \) ein Paar \( (x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) existiert, sodass \( f(x, y) = z \). Um zu zeigen, dass \( f \) surjektiv ist, nehmen wir ein beliebiges \( z \in \mathbb{Z} \) und setzen \( x = 0 \). Dann erhalten wir: \[ f(0, y) = 0^2 + 2y = 2y \] Um \( z \) zu erreichen, setzen wir \( y = \frac{z}{2} \). Wenn \( z \) gerade ist, ist \( y \) eine ganze Zahl. Wenn \( z \) ungerade ist, können wir \( x = 1 \) und \( y = \frac{z - 1}{2} \) wählen, was ebenfalls eine ganze Zahl ergibt. Somit kann für jedes \( z \in \mathbb{Z} \) ein passendes \( (x, y) \) gefunden werden, sodass \( f(x, y) = z \). Daher ist die Funktion surjektiv. Zusammenfassend ist die Funktion \( f(x, y) = x^2 + 2y \) **nur surjektiv**.

Um zu bestimmen, ob die Abbildung \( f: \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) definiert durch \( f(x,y) = (x^2 + y^2, x - y) \) injektiv, surjektiv oder beides ist, analysieren wir die Eigenschaften der Funktion. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn \( f(a) = f(b) \) nur dann gilt, wenn \( a = b \). Angenommen, \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \). Das bedeutet: \[ (x_1^2 + y_1^2, x_1 - y_1) = (x_2^2 + y_2^2, x_2 - y_2) \] Daraus folgt: \[ x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \quad \text{und} \quad x_1 - y_1 = x_2 - y_2 \] Aus der zweiten Gleichung folgt \( x_1 = x_2 + (y_1 - y_2) \). Setzen wir dies in die erste Gleichung ein, erhalten wir eine Gleichung, die nicht notwendigerweise zu einer eindeutigen Lösung für \( (x_1, y_1) \) und \( (x_2, y_2) \) führt. Daher ist die Abbildung nicht injektiv. 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( (a, b) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) ein \( (x, y) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) existiert, sodass \( f(x, y) = (a, b) \). Das bedeutet, wir müssen die Gleichungen: \[ x^2 + y^2 = a \quad \text{und} \quad x - y = b \] lösen. Aus der zweiten Gleichung folgt \( y = x - b \). Setzen wir dies in die erste Gleichung ein: \[ x^2 + (x - b)^2 = a \] Dies vereinfacht sich zu: \[ 2x^2 - 2bx + b^2 = a \] Dies ist eine quadratische Gleichung in \( x \). Die Lösungen existieren, wenn die Diskriminante nicht negativ ist: \[ D = (-2b)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (b^2 - a) = 4b^2 - 8(b^2 - a) = 8a - 4b^2 \] Damit die Gleichung Lösungen in \( \mathbb{Q} \) hat, muss \( 8a - 4b^2 \geq 0 \) sein. Das bedeutet, nicht jedes \( (a, b) \) hat ein Urbild in \( \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \). Daher ist die Abbildung nicht surjektiv. Zusammenfassend ist die Abbildung \( f \) weder injektiv noch surjektiv.

Um die Abbildung \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \), definiert durch \( f(a, b) = \frac{a}{b} \), zu analysieren, betrachten wir die Eigenschaften Injektivität und Surjektivität. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2) \), dann muss gelten, dass \( (a_1, b_1) = (a_2, b_2) \). In diesem Fall könnte \( f(1, 2) = \frac{1}{2} \) und \( f(2, 4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) sein, was zeigt, dass \( f \) nicht injektiv ist, da \( (1, 2) \neq (2, 4) \). 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes Element \( q \in \mathbb{Q} \) ein Paar \( (a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \) existiert, sodass \( f(a, b) = q \). Für jede rationale Zahl \( q = \frac{m}{n} \) (mit \( m \in \mathbb{Z} \) und \( n \in \mathbb{N} \)) kann man das Paar \( (m, n) \) wählen, sodass \( f(m, n) = \frac{m}{n} = q \). Daher ist \( f \) surjektiv. Zusammenfassend ist die Abbildung \( f \) surjektiv, aber nicht injektiv.