Ist die Abbildung f:Q×Q→Q×Q, (x,y)↦(x²+y²,x−y) injektiv, surjektiv, beides oder keines von beiden?

Um zu bestimmen, ob die Abbildung \( f: \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) definiert durch \( f(x,y) = (x^2 + y^2, x - y) \) injektiv, surjektiv oder beides ist, analysieren wir die Eigenschaften der Funktion.

1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn \( f(a) = f(b) \) nur dann gilt, wenn \( a = b \). Angenommen, \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \). Das bedeutet:
\[
(x_1^2 + y_1^2, x_1 - y_1) = (x_2^2 + y_2^2, x_2 - y_2)
\]
Daraus folgt:
\[
x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \quad \text{und} \quad x_1 - y_1 = x_2 - y_2
\]
Aus der zweiten Gleichung folgt \( x_1 = x_2 + (y_1 - y_2) \). Setzen wir dies in die erste Gleichung ein, erhalten wir eine Gleichung, die nicht notwendigerweise zu einer eindeutigen Lösung für \( (x_1, y_1) \) und \( (x_2, y_2) \) führt. Daher ist die Abbildung nicht injektiv.

2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( (a, b) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) ein \( (x, y) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) existiert, sodass \( f(x, y) = (a, b) \). Das bedeutet, wir müssen die Gleichungen:
\[
x^2 + y^2 = a \quad \text{und} \quad x - y = b
\]
lösen. Aus der zweiten Gleichung folgt \( y = x - b \). Setzen wir dies in die erste Gleichung ein:
\[
x^2 + (x - b)^2 = a
\]
Dies vereinfacht sich zu:
\[
2x^2 - 2bx + b^2 = a
\]
Dies ist eine quadratische Gleichung in \( x \). Die Lösungen existieren, wenn die Diskriminante nicht negativ ist:
\[
D = (-2b)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (b^2 - a) = 4b^2 - 8(b^2 - a) = 8a - 4b^2
\]
Damit die Gleichung Lösungen in \( \mathbb{Q} \) hat, muss \( 8a - 4b^2 \geq 0 \) sein. Das bedeutet, nicht jedes \( (a, b) \) hat ein Urbild in \( \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \). Daher ist die Abbildung nicht surjektiv.

Zusammenfassend ist die Abbildung \( f \) weder injektiv noch surjektiv.