Ist f(x) = 1/x² surjektiv und injektiv?

Question

Ist f(x) = 1/x² surjektiv und injektiv?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie überprüft man schnell die Surjektivität einer Funktion?

Berechne für a=2 (3a^3+4a^2)*(-2a-a^5).

Warum wächst e^x schneller als x^n?

Accepted Answer

Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) ist weder subjektiv noch injektiv. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv (oder eineindeutig), wenn verschiedene Elemente des Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente des Wertebereichs abgebildet werden. Das bedeutet, dass \( f(a) = f(b) \) nur dann gilt, wenn \( a = b \). Für \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) gilt jedoch: \[ f(a) = f(b) \implies \frac{1}{a^2} = \frac{1}{b^2} \implies a^2 = b^2 \implies a = b \text{ oder } a = -b \] Das bedeutet, dass \( f(x) \) nicht injektiv ist, da \( f(a) = f(-a) \) für \( a \neq 0 \). 2. **Subjektivität**: Eine Funktion ist subjektiv (oder surjektiv), wenn jedes Element des Wertebereichs von mindestens einem Element des Definitionsbereichs getroffen wird. Das bedeutet, dass für jedes \( y \) im Wertebereich ein \( x \) im Definitionsbereich existiert, sodass \( f(x) = y \). Der Wertebereich von \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) ist \( (0, \infty) \), da \( \frac{1}{x^2} \) immer positiv ist und gegen unendlich geht, wenn \( x \) gegen 0 geht. Es gibt jedoch keine \( x \), sodass \( f(x) = 0 \) oder ein negatives \( y \) erreicht wird. Daher ist die Funktion nicht surjektiv auf \( \mathbb{R} \) oder \( \mathbb{R}^+ \). Zusammengefasst: \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) ist weder injektiv noch subjektiv.

Accepted Answer

Um die Surjektivität einer Funktion schnell zu überprüfen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Definition verstehen**: Eine Funktion \( f: A \to B \) ist surjektiv, wenn fü... [mehr]

Accepted Answer

Um die Surjektivität einer Funktion schnell zu überprüfen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Definition verstehen**: Eine Funktion \( f: A \to B \) ist surjektiv, wenn für jedes Element \( b \in B \) mindestens ein Element \( a \in A \) existiert, sodass \( f(a) = b \). 2. **Bild der Funktion bestimmen**: Berechne das Bild der Funktion, indem du die Funktionsvorschrift analysierst und die Werte von \( f(x) \) für alle \( x \in A \) untersuchst. 3. **Gegenteil prüfen**: Überprüfe, ob es Elemente in \( B \) gibt, die nicht im Bild von \( f \) liegen. Wenn du ein solches Element findest, ist die Funktion nicht surjektiv. 4. **Spezielle Techniken**: Bei bestimmten Funktionstypen (z.B. linearen Funktionen) kannst du auch algebraische Methoden verwenden, um zu zeigen, dass die Gleichung \( f(x) = b \) für jedes \( b \in B \) eine Lösung hat. 5. **Graphische Methode**: Bei Funktionen, die grafisch dargestellt werden können, kannst du auch die horizontale Linien-Testmethode verwenden: Wenn eine horizontale Linie den Graphen der Funktion mehr als einmal schneidet, ist die Funktion nicht surjektiv. Diese Schritte helfen dir, die Surjektivität einer Funktion effizient zu überprüfen.

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Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(... [mehr]

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(4) = 24 16 = 40 \] 2. Berechne dann \( -2a - a^5 \): \[ -2(2) - (2^5) = -4 - 32 = -36 \] 3. Setze die Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) = 40 \cdot (-36) = -1440 \] Die Probe für \( a = 2 \) ergibt also \( -1440 \).

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Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig vo... [mehr]

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Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig von \( x \) ist Mathematisch lässt sich dies durch den Vergleich der Ableitungen zeigen. Die Ableitung von \( e^x \) ist \( e^x \), während die Ableitung von \( x^n \) \( n \cdot x^{n-1} \) ist. Für große Werte von \( x \) wird \( e^x \) also immer größer als \( x^n \), da die Wachstumsrate von \( e^x \) exponentiell ist, während die Wachstumsrate von \( x^n \) polynomial bleibt. Ein weiterer Weg, dies zu zeigen, ist der L'Hôpital'sche Regel, die besagt, dass der Grenzwert des Verhältnisses zweier Funktionen, wenn beide gegen unendlich gehen, durch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmt werden kann. Wenn man den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) für \( x \to \infty \) betrachtet, erhält man: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \] Das bedeutet, dass \( e^x \) viel schneller wächst als \( x^n \), wenn \( x \) sehr groß wird.