Um zu zeigen, dass die Funktion \( f': X \to f(X) \), definiert durch \( f'(x) = f(x) \), bijektiv ist, wenn \( f: X \to Y \) injektiv ist, müssen wir sowohl die Injektivität als auch die Surjektivität von \( f' \) nachweisen. 1. **Injektivität von \( f' \)**: Eine Funktion ist injektiv, wenn für alle \( x_1, x_2 \in X \) gilt: Wenn \( f'(x_1) = f'(x_2) \), dann muss \( x_1 = x_2 \) sein. Angenommen, \( f'(x_1) = f'(x_2) \). Das bedeutet, dass \( f(x_1) = f(x_2) \). Da \( f \) injektiv ist, folgt daraus, dass \( x_1 = x_2 \). Somit ist \( f' \) injektiv. 2. **Surjektivität von \( f' \)**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( y \in f(X) \) ein \( x \in X \) existiert, sodass \( f'(x) = y \). Sei \( y \in f(X) \). Das bedeutet, dass es ein \( x \in X \) gibt, sodass \( f(x) = y \). Dann gilt \( f'(x) = f(x) = y \). Somit ist \( f' \) surjektiv. Da \( f' \) sowohl injektiv als auch surjektiv ist, folgt, dass \( f' \) bijektiv ist. Damit ist gezeigt, dass wenn \( f: X \to Y \) injektiv ist, dann ist auch \( f': X \to f(X) \) bijektiv.