2 Fragen zu Bijektivitaet

Die gegebene Abbildung ist \( g: \mathbb{R} \to [0, \infty) \) definiert durch \( g(x) = x^2 \). 1. **Wertebereich**: Der Wertebereich von \( g \) ist \( [0, \infty) \), da das Quadrat einer reellen Zahl immer nicht negativ ist. Für \( x = 0 \) erhält man \( g(0) = 0 \) und für \( x \to \infty \) geht \( g(x) \) gegen \( \infty \). Somit sind alle Werte im Intervall \( [0, \infty) \) erreichbar. 2. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Für \( g(x) = x^2 \) gilt: - \( g(a) = g(b) \) impliziert \( a^2 = b^2 \), was bedeutet, dass \( a = b \) oder \( a = -b \). - Daher ist \( g \) nicht injektiv, da z.B. \( g(2) = g(-2) = 4 \). 3. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder Wert im Zielbereich mindestens einmal erreicht wird. Da der Wertebereich von \( g \) genau \( [0, \infty) \) ist und alle Werte in diesem Intervall durch geeignete \( x \) (z.B. \( x = \sqrt{y} \) für \( y \geq 0 \)) erreicht werden können, ist \( g \) surjektiv. 4. **Bijektivität**: Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Da \( g \) nicht injektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv. Zusammenfassend: - Wertebereich: \( [0, \infty) \) - Injektiv: Nein - Surjektiv: Ja - Bijektiv: Nein

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f': X \to f(X) \), definiert durch \( f'(x) = f(x) \), bijektiv ist, wenn \( f: X \to Y \) injektiv ist, müssen wir sowohl die Injektivität als auch die Surjektivität von \( f' \) nachweisen. 1. **Injektivität von \( f' \)**: Eine Funktion ist injektiv, wenn für alle \( x_1, x_2 \in X \) gilt: Wenn \( f'(x_1) = f'(x_2) \), dann muss \( x_1 = x_2 \) sein. Angenommen, \( f'(x_1) = f'(x_2) \). Das bedeutet, dass \( f(x_1) = f(x_2) \). Da \( f \) injektiv ist, folgt daraus, dass \( x_1 = x_2 \). Somit ist \( f' \) injektiv. 2. **Surjektivität von \( f' \)**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( y \in f(X) \) ein \( x \in X \) existiert, sodass \( f'(x) = y \). Sei \( y \in f(X) \). Das bedeutet, dass es ein \( x \in X \) gibt, sodass \( f(x) = y \). Dann gilt \( f'(x) = f(x) = y \). Somit ist \( f' \) surjektiv. Da \( f' \) sowohl injektiv als auch surjektiv ist, folgt, dass \( f' \) bijektiv ist. Damit ist gezeigt, dass wenn \( f: X \to Y \) injektiv ist, dann ist auch \( f': X \to f(X) \) bijektiv.