Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Gegeben ist die Funktion g: R → [0,∞), x 7→ x². Bestimme den Wertebereich und untersuche die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität der Abbildung.
Antwort vomDie gegebene Abbildung ist \( g: \mathbb{R} \to [0, \infty) \) definiert durch \( g(x) = x^2 \). 1. **Wertebereich**: Der Wertebereich von \( g \) ist \( [0, \infty) \), da das Quadrat einer reellen Zahl immer nicht negativ ist. Für \( x = 0 \) erhält man \( g(0) = 0 \) und für \( x \to \infty \) geht \( g(x) \) gegen \( \infty \). Somit sind alle Werte im Intervall \( [0, \infty) \) erreichbar. 2. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Für \( g(x) = x^2 \) gilt: - \( g(a) = g(b) \) impliziert \( a^2 = b^2 \), was bedeutet, dass \( a = b \) oder \( a = -b \). - Daher ist \( g \) nicht injektiv, da z.B. \( g(2) = g(-2) = 4 \). 3. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder Wert im Zielbereich mindestens einmal erreicht wird. Da der Wertebereich von \( g \) genau \( [0, \infty) \) ist und alle Werte in diesem Intervall durch geeignete \( x \) (z.B. \( x = \sqrt{y} \) für \( y \geq 0 \)) erreicht werden können, ist \( g \) surjektiv. 4. **Bijektivität**: Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Da \( g \) nicht injektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv. Zusammenfassend: - Wertebereich: \( [0, \infty) \) - Injektiv: Nein - Surjektiv: Ja - Bijektiv: Nein
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