Ist die Abbildung f: Z×Z→Z, (x,y)↦x²+2y nur injektiv, nur surjektiv, injektiv und surjektiv, oder keines von beiden?

Um zu bestimmen, ob die Funktion \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) definiert durch \( f(x, y) = x^2 + 2y \) injektiv, surjektiv, beides oder keines von beiden ist, analysieren wir die Eigenschaften der Funktion.

1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \), dann muss gelten, dass \( (x_1, y_1) = (x_2, y_2) \).

Angenommen, \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \). Das führt zu:
\[
x_1^2 + 2y_1 = x_2^2 + 2y_2
\]
Daraus folgt:
\[
x_1^2 - x_2^2 = 2(y_2 - y_1)
\]
Es ist möglich, dass \( x_1 \neq x_2 \) und dennoch die Gleichung erfüllt ist. Zum Beispiel, wenn \( x_1 = 1 \) und \( x_2 = -1 \), dann ist \( 1^2 - (-1)^2 = 0 \), was bedeutet, dass \( y_1 \) und \( y_2 \) beliebige Werte annehmen können, solange \( y_2 - y_1 = 0 \). Daher ist die Funktion nicht injektiv.

2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( z \in \mathbb{Z} \) ein Paar \( (x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) existiert, sodass \( f(x, y) = z \).

Um zu zeigen, dass \( f \) surjektiv ist, nehmen wir ein beliebiges \( z \in \mathbb{Z} \) und setzen \( x = 0 \). Dann erhalten wir:
\[
f(0, y) = 0^2 + 2y = 2y
\]
Um \( z \) zu erreichen, setzen wir \( y = \frac{z}{2} \). Wenn \( z \) gerade ist, ist \( y \) eine ganze Zahl. Wenn \( z \) ungerade ist, können wir \( x = 1 \) und \( y = \frac{z - 1}{2} \) wählen, was ebenfalls eine ganze Zahl ergibt. Somit kann für jedes \( z \in \mathbb{Z} \) ein passendes \( (x, y) \) gefunden werden, sodass \( f(x, y) = z \). Daher ist die Funktion surjektiv.

Zusammenfassend ist die Funktion \( f(x, y) = x^2 + 2y \) **nur surjektiv**.