f:Q×Q→Q×Q, (x,y)↦(x²,x−y). Ist die Abbildung injektiv, nur surjektiv, injektiv und surjektiv oder keines von beiden?

Um zu bestimmen, ob die Abbildung \( f: \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) definiert durch \( f(x,y) = (x^2, x - y) \) injektiv, surjektiv, injektiv und surjektiv oder keines von beiden ist, analysieren wir die Eigenschaften der Funktion.

1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingaben verschiedene Ausgaben erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \), dann muss gelten, dass \( (x_1, y_1) = (x_2, y_2) \).

Angenommen, \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \). Das führt zu den Gleichungen:
\[
x_1^2 = x_2^2 \quad \text{und} \quad x_1 - y_1 = x_2 - y_2.
\]
Aus \( x_1^2 = x_2^2 \) folgt, dass \( x_1 = x_2 \) oder \( x_1 = -x_2 \). Wenn \( x_1 = x_2 \), dann ergibt sich aus der zweiten Gleichung \( y_1 = y_2 \). Wenn jedoch \( x_1 = -x_2 \), dann kann \( y_1 \) und \( y_2 \) beliebige Werte annehmen, was bedeutet, dass die Funktion nicht injektiv ist.

2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes Element \( (a, b) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) ein Element \( (x, y) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) existiert, sodass \( f(x, y) = (a, b) \).

Um zu überprüfen, ob \( (a, b) \) ein Bild von \( f \) ist, setzen wir \( f(x, y) = (a, b) \):
\[
x^2 = a \quad \text{und} \quad x - y = b.
\]
Aus der ersten Gleichung folgt \( x = \sqrt{a} \) oder \( x = -\sqrt{a} \). Für \( x = \sqrt{a} \) ergibt sich \( y = x - b = \sqrt{a} - b \). Für \( x = -\sqrt{a} \) ergibt sich \( y = -\sqrt{a} - b \).

Da \( a \) jedoch nicht immer ein Quadrat in \( \mathbb{Q} \) ist (z.B. \( a = 2 \)), gibt es Werte von \( (a, b) \), für die kein \( (x, y) \) existiert, sodass \( f(x, y) = (a, b) \). Daher ist die Funktion nicht surjektiv.

Zusammenfassend ist die Abbildung \( f \) weder injektiv noch surjektiv.