Ist die Funktion f: Q -> Q, x -> 3x + 4 injektiv und surjektiv?

Um zu bestimmen, ob die Funktion \( f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \) definiert durch \( f(x) = 3x + 4 \) injektiv und surjektiv ist, betrachten wir beide Eigenschaften:

1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(x_1) = f(x_2) \), dann muss \( x_1 = x_2 \) gelten.

Angenommen, \( f(x_1) = f(x_2) \):
\[
3x_1 + 4 = 3x_2 + 4
\]
Subtrahiere 4 von beiden Seiten:
\[
3x_1 = 3x_2
\]
Teile durch 3:
\[
x_1 = x_2
\]
Da dies für beliebige \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt, ist die Funktion injektiv.

2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( y \in \mathbb{Q} \) ein \( x \in \mathbb{Q} \) existiert, sodass \( f(x) = y \).

Setze \( y = f(x) = 3x + 4 \) und löse nach \( x \):
\[
y = 3x + 4 \implies 3x = y - 4 \implies x = \frac{y - 4}{3}
\]
Da \( y \) beliebig gewählt werden kann und \( \frac{y - 4}{3} \) immer ein rationaler Wert ist, ist die Funktion surjektiv.

Zusammenfassend ist die Funktion \( f(x) = 3x + 4 \) sowohl injektiv als auch surjektiv. Daher ist sie bijektiv.