Ist die Funktion f(x)=x+3 surjektiv? Mit Beispiel

Ja, die Funktion \( f(x) = x + 3 \) ist surjektiv.

Eine Funktion ist surjektiv (oder "auf"), wenn jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Das bedeutet, für jede Zahl \( y \) in der Zielmenge muss es ein \( x \) in der Definitionsmenge geben, so dass \( f(x) = y \).

Für \( f(x) = x + 3 \) ist die Zielmenge normalerweise die Menge der reellen Zahlen \( \mathbb{R} \). Um zu zeigen, dass \( f \) surjektiv ist, muss für jedes \( y \in \mathbb{R} \) ein \( x \in \mathbb{R} \) gefunden werden, so dass \( f(x) = y \).

Nehmen wir ein beliebiges \( y \in \mathbb{R} \). Wir müssen ein \( x \) finden, so dass:

\[ f(x) = y \]
\[ x + 3 = y \]
\[ x = y - 3 \]

Da \( y \) beliebig gewählt wurde und \( y - 3 \) ebenfalls eine reelle Zahl ist, gibt es für jedes \( y \in \mathbb{R} \) ein \( x \in \mathbb{R} \), nämlich \( x = y - 3 \), so dass \( f(x) = y \).

Beispiel:
Nehmen wir \( y = 5 \). Dann ist \( x = 5 - 3 = 2 \). Und tatsächlich:

\[ f(2) = 2 + 3 = 5 \]

Da dies für jedes \( y \in \mathbb{R} \) funktioniert, ist die Funktion \( f(x) = x + 3 \) surjektiv.