Um die Abbildung \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \) definiert durch \( f(a, b) = ab \) zu analysieren, betrachten wir die Eigenschaften Injektivität und Surjektivität. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Das bedeutet, wenn \( f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2) \), dann muss gelten, dass \( (a_1, b_1) = (a_2, b_2) \). In diesem Fall könnte \( f(1, 2) = 2 \) und \( f(2, 1) = 2 \) sein, was zeigt, dass die Abbildung nicht injektiv ist, da unterschiedliche Paare \( (1, 2) \) und \( (2, 1) \) denselben Wert erzeugen. 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes Element \( q \in \mathbb{Q} \) ein Paar \( (a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \) existiert, sodass \( f(a, b) = q \). Da \( \mathbb{Q} \) alle rationalen Zahlen umfasst, und \( ab \) nur die Produkte von ganzen Zahlen und natürlichen Zahlen erzeugt, ist es nicht möglich, alle rationalen Zahlen zu erreichen. Zum Beispiel kann \( f(a, b) \) niemals einen Wert wie \( \frac{1}{2} \) annehmen, da \( a \) ganzzahlig und \( b \) natürlich ist. Zusammenfassend ist die Abbildung \( f(a, b) = ab \) weder injektiv noch surjektiv.