2 Fragen zu Potenzmenge

Die Potenzmenge \( P(A) \) einer Menge \( A \) ist die Menge aller Teilmengen von \( A \). Für die Menge \( A = \{2, 3, 5\} \) ist die Potenzmenge \( P(A) \) wie folgt: \[ P(\{2, 3, 5\}) = \{\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{5\}, \{2, 3\}, \{2, 5\}, \{3, 5\}, \{2, 3, 5\}\} \] Es gilt, dass die leere Menge \( \emptyset \) eine Teilmenge jeder Menge ist, einschließlich \( A \), und dass jede Menge eine Teilmenge von sich selbst ist, also \( A \subseteq A \).

Um zu prüfen, ob die Abbildung \( F: \text{Pot}(M) \to \text{Pot}(M) \) definiert durch \( F(T) = \{ f(x) \mid x \in T \} \) surjektiv ist, wenn \( f \) surjektiv ist, betrachten wir die Definition der Surjektivität. Eine Funktion \( f: A \to B \) ist surjektiv, wenn für jedes \( b \in B \) ein \( a \in A \) existiert, sodass \( f(a) = b \). Angenommen, \( f \) ist surjektiv, das bedeutet, dass für jedes \( y \in M \) ein \( x \in M \) existiert, sodass \( f(x) = y \). Nun betrachten wir die Abbildung \( F \). Um zu zeigen, dass \( F \) surjektiv ist, müssen wir zeigen, dass für jede Teilmenge \( S \subseteq M \) ein \( T \subseteq M \) existiert, sodass \( F(T) = S \). Sei \( S \subseteq M \) gegeben. Da \( f \) surjektiv ist, gibt es für jedes \( s \in S \) ein \( x_s \in M \), sodass \( f(x_s) = s \). Wir können die Menge \( T = \{ x_s \mid s \in S \} \) bilden. Dann gilt: \[ F(T) = \{ f(x) \mid x \in T \} = \{ f(x_s) \mid s \in S \} = S. \] Somit ist für jede Teilmenge \( S \subseteq M \) ein entsprechendes \( T \subseteq M \) gefunden worden, sodass \( F(T) = S \). Daraus folgt, dass die Abbildung \( F \) surjektiv ist, wenn \( f \) surjektiv ist.