Um die Abbildung \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) definiert durch \( f(x, y) = x^2 - y \) zu analysieren, betrachten wir die Injektivität und Surjektivität. 1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn \( f(a) = f(b) \) nur dann gilt, wenn \( a = b \). Nehmen wir an, \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \). Das bedeutet: \[ x_1^2 - y_1 = x_2^2 - y_2. \] Daraus folgt: \[ x_1^2 - x_2^2 = y_1 - y_2. \] Dies kann umgeschrieben werden zu: \[ (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = y_1 - y_2. \] Es ist möglich, dass \( x_1 \neq x_2 \) und trotzdem \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \) gilt, z.B. wenn \( x_1 = 1, y_1 = 0 \) und \( x_2 = -1, y_2 = 2 \). Daher ist die Funktion nicht injektiv. 2. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( z \in \mathbb{Z} \) ein Paar \( (x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) existiert, sodass \( f(x, y) = z \). Setze \( z = x^2 - y \) umzustellen ergibt: \[ y = x^2 - z. \] Für jedes \( z \) und jedes \( x \in \mathbb{Z} \) können wir ein \( y \) finden, das ebenfalls in \( \mathbb{Z} \) liegt. Somit ist die Funktion surjektiv. Zusammenfassend ist die Abbildung \( f(x, y) = x^2 - y \) **nur surjektiv**.