Ist die Funktion f(x) = x + 3 surjektiv?

Ja, die Funktion \( f(x) = x + 3 \) ist surjektiv.

Eine Funktion ist surjektiv (oder "auf"), wenn jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Das bedeutet, für jede Zahl \( y \) in der Zielmenge muss es mindestens ein \( x \) in der Definitionsmenge geben, so dass \( f(x) = y \).

Für \( f(x) = x + 3 \) gilt:
- Definitionsmenge: \(\mathbb{R}\) (die Menge der reellen Zahlen)
- Zielmenge: \(\mathbb{R}\)

Um zu zeigen, dass \( f \) surjektiv ist, muss für jedes \( y \in \mathbb{R} \) ein \( x \in \mathbb{R} \) gefunden werden, so dass \( f(x) = y \).

Setze \( y = x + 3 \). Um \( x \) zu finden, löse die Gleichung nach \( x \) auf:
\[ x = y - 3 \]

Da \( y \) jede reelle Zahl sein kann und \( x = y - 3 \) ebenfalls eine reelle Zahl ist, gibt es für jedes \( y \in \mathbb{R} \) ein \( x \in \mathbb{R} \), so dass \( f(x) = y \).

Daher ist die Funktion \( f(x) = x + 3 \) surjektiv.