14 Fragen zu Geradengleichung

Um eine Gerade in der Vektorschreibweise anzugeben, benötigst du einen Stützvektor und einen Richtungsvektor. Die Gleichung, die du angegeben hast, lautet: \[ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} \] Hier ist \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) der Stützvektor und \(\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}\) der Richtungsvektor. Die Variable \(t\) ist ein Parameter, der die Punkte auf der Geraden beschreibt. Die Geradengleichung in Parameterform lautet also: \[ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} \] Das bedeutet, dass jeder Punkt \(\vec{x}\) auf der Geraden durch diese Gleichung beschrieben werden kann, indem du den Parameter \(t\) variierst.

Der y-Abschnitt (auch y-Achsenabschnitt oder Ordinatenabschnitt genannt) einer Geradengleichung ist der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. In der Standardform der Geradengleichung \(y = mx + b\) repräsentiert der Wert \(b\) den y-Abschnitt. Dieser Wert gibt an, welchen y-Wert die Gerade hat, wenn \(x = 0\) ist. Der y-Abschnitt ist somit ein wichtiger Parameter, der die Lage der Geraden im Koordinatensystem bestimmt.

Die beiden Geradengleichungen \( y = mx + t \) und \( y = a + bx \) sind im Wesentlichen gleich, sie unterscheiden sich nur in der Notation der Parameter: 1. **\( y = mx + t \)**: - \( m \) ist die Steigung der Geraden. - \( t \) ist der y-Achsenabschnitt, also der Wert von \( y \), wenn \( x = 0 \). 2. **\( y = a + bx \)**: - \( b \) ist die Steigung der Geraden. - \( a \) ist der y-Achsenabschnitt, also der Wert von \( y \), wenn \( x = 0 \). In beiden Fällen beschreibt die Gleichung eine lineare Beziehung zwischen \( x \) und \( y \). Die Steigung gibt an, wie stark \( y \) sich ändert, wenn \( x \) um eine Einheit zunimmt, und der y-Achsenabschnitt gibt den Punkt an, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Um die Geradengleichung \( y = 2.5x - 4.5 \) zu lösen, kannst du verschiedene Werte für \( x \) einsetzen, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu finden. Hier sind die Schritte: 1. **Wähle einen Wert für \( x \)**: Zum Beispiel \( x = 0 \). 2. **Setze den Wert in die Gleichung ein**: \[ y = 2.5(0) - 4.5 = -4.5 \] Das ergibt den Punkt \( (0, -4.5) \). 3. **Wähle einen weiteren Wert für \( x \)**: Zum Beispiel \( x = 2 \). 4. **Setze den Wert in die Gleichung ein**: \[ y = 2.5(2) - 4.5 = 5 - 4.5 = 0.5 \] Das ergibt den Punkt \( (2, 0.5) \). 5. **Wiederhole diesen Prozess für weitere Werte von \( x \)**, um mehr Punkte zu finden. 6. **Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem** und verbinde sie, um die Gerade darzustellen. Die Steigung der Geraden ist \( 2.5 \), was bedeutet, dass die Gerade um 2.5 Einheiten steigt, wenn \( x \) um 1 Einheit steigt. Der y-Achsenabschnitt ist \( -4.5 \), was der Punkt ist, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Um die Geradengleichung der Geraden \( f \) zu bestimmen, die parallel zur Geraden \( g \) ist und durch den Punkt \( P(-3 | -1) \) verläuft, benötigst du die Steigung der Geraden \( g \). 1. **Steigung der Geraden \( g \)**: Angenommen, die Geradengleichung von \( g \) ist in der Form \( y = mx + b \), wobei \( m \) die Steigung ist. Da \( f \) parallel zu \( g \) ist, hat \( f \) die gleiche Steigung \( m \). 2. **Punktform der Geradengleichung**: Die Geradengleichung in Punktform lautet: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Dabei ist \( (x_1, y_1) \) der Punkt \( P(-3, -1) \). 3. **Einsetzen der Werte**: Setze \( x_1 = -3 \), \( y_1 = -1 \) und die Steigung \( m \) ein: \[ y - (-1) = m(x - (-3)) \] Das vereinfacht sich zu: \[ y + 1 = m(x + 3) \] oder \[ y = m(x + 3) - 1 \] 4. **Endform der Geradengleichung**: Um die Gleichung in der Form \( y = mx + b \) zu schreiben, musst du die Klammer auflösen: \[ y = mx + 3m - 1 \] Die genaue Gleichung von \( f \) hängt also von der Steigung \( m \) der Geraden \( g \) ab. Wenn du die Steigung von \( g \) kennst, kannst du sie in die Gleichung einsetzen, um die Geradengleichung von \( f \) zu erhalten.

Um die Geradengleichung durch die Punkte A(3, 2) und B(−1, 4) zu bestimmen, kannst du die allgemeine Form der Geradengleichung \(y = mx + b\) verwenden, wobei \(m\) die Steigung und \(b\) der y-Achsenabschnitt ist. 1. **Steigung \(m\) berechnen**: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 2}{-1 - 3} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \] 2. **Geradengleichung aufstellen**: Jetzt verwenden wir einen der Punkte, um den y-Achsenabschnitt \(b\) zu finden. Wir nehmen Punkt A(3, 2): \[ y = mx + b \implies 2 = -\frac{1}{2} \cdot 3 + b \] \[ 2 = -\frac{3}{2} + b \implies b = 2 + \frac{3}{2} = 2 + 1.5 = 3.5 \] . **Endgültige Geradengleichung**: Die Geradengleichung lautet somit: \[ y = -\frac{1}{2}x + 3.5 \] Alternativ kann die Gleichung auch in der Punkt-Steigungs-Form \(y - y_1 = m(x - x_1)\) geschrieben werden: \[ y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 3) \] Beide Formen beschreiben die gleiche Gerade.

Um die Gleichung der Geraden zu bestimmen, die durch die Punkte P(-1, -4) und Q(3, -2) verläuft, kannst du die allgemeine Form der Geradengleichung verwenden. Zuerst berechnest du die Steigung (m) der Geraden: 1. **Steigung (m) berechnen:** \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - (-4)}{3 - (-1)} = \frac{-2 + 4}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 2. **Punkt-Steigungsform der Geradengleichung verwenden:** Die Punkt-Steigungsform lautet: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Wir verwenden den Punkt P(-1, -4): \[ y - (-4) = \frac{1}{2}(x - (-1)) \] Das vereinfacht sich zu: \[ y + 4 = \frac{1}{2}(x + 1) \] 3. **Gleichung umformen:** \[ y + 4 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \] \[ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} - 4 \] \[ y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2} \] Die Gleichung der Geraden in der Form \(y = mx + b\) lautet also: \[ y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2} \]

Um die Geradengleichung der Geraden \( f \) zu bestimmen, die parallel zur Geraden \( g \) ist und durch den Punkt \( P(-3, -1) \) verläuft, gehen wir wie folgt vor: 1. **Steigung der Geraden \( g \)**: Die Geradengleichung \( g = x + 1 \) kann umgeschrieben werden in die Form \( y = 1x + 1 \). Hier ist die Steigung \( m = 1 \). 2. **Steigung der Geraden \( f \)**: Da \( f \) parallel zu \( g \) ist, hat sie die gleiche Steigung. Also ist die Steigung von \( f \) ebenfalls \( m = 1 \). 3. **Verwendung der Punkt-Steigungsform**: Die Punkt-Steigungsform einer Geradengleichung lautet: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Dabei ist \( (x_1, y_1) \) der Punkt \( P(-3, -1) \) und \( m = 1 \). 4. **Einsetzen der Werte**: \[ y - (-1) = 1(x - (-3)) \] Das vereinfacht sich zu: \[ y + 1 = 1(x + 3) \] \[ y + 1 = x + 3 \] \[ y = x + 2 \] Die Geradengleichung der Geraden \( f \) lautet also: \[ f: y = x + 2 \]

Um die Geradengleichung der Geraden g, die durch die Punkte A(-4|5) und B(-1|1) verläuft, zu bestimmen, kannst du die allgemeine Form der Geradengleichung in der Form \(y = mx + b\) verwenden, wobei \(m\) die Steigung und \(b\) der y-Achsenabschnitt ist. 1. **Steigung \(m\) berechnen:** \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 5}{-1 - (-4)} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3} \] 2. **Geradengleichung aufstellen:** Verwende den Punkt A(-4|5) und die Steigung \(m\): \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Setze die Werte ein: \[ y - 5 = -\frac{4}{3}(x + 4) \] 3. **Umformen in die Form \(y = mx + b\):** \[ y - 5 = -\frac{4}{3}x - \frac{16}{3} \] \[ y = -\frac{4}{3}x - \frac{16}{3} + 5 \] \[ y = -\frac{4}{3}x - \frac{16}{3} + \frac{15}{3} \] \[ y = -\frac{4}{3}x - \frac{1}{3} \] Die Geradengleichung lautet also: \[ y = -\frac{4}{3}x - \frac{1}{3} \]

Die Bestandteile der Geradengleichung in der Vektorenrechnung sind: 1. **Richtungsvektor**: Dieser Vektor gibt die Richtung der Geraden an. Er wird oft mit \(\vec{d}\) bezeichnet. 2. **Stützvektor**: Ein Punkt, der auf der Geraden liegt, wird durch einen Stützvektor \(\vec{p_0}\) dargestellt. Die allgemeine Form der Geradengleichung in der Vektorenrechnung lautet: \[ \vec{r}(t) = \vec{p_0} + t \cdot \vec{d} \] Hierbei ist \(\vec{r}(t)\) der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden, \(t\) ist ein Parameter, der alle Punkte auf der Geraden beschreibt, \(\vec{p_0}\) ist der Stützvektor und \(\vec{d}\) ist der Richtungsvektor.

Um zu bestimmen, für welches \( a \) der Punkt \( P(-11, 2, 7) \) auf der Geraden \( g \) liegt, setzen wir die Koordinaten von \( P \) in die Geradengleichung ein. Die Geradengleichung ist gegeben durch: \[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ a \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \] Das bedeutet, dass die Koordinaten der Geraden \( g \) für einen Parameter \( r \) wie folgt aussehen: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 - 2r \\ -1 + r \\ a + 4r \end{pmatrix} \] Um zu überprüfen, ob der Punkt \( P(-11, 2, 7) \) auf der Geraden liegt, setzen wir die Koordinaten von \( P \) gleich den Koordinaten der Geraden: 1. Für die \( x \)-Koordinate: \[ -5 - 2r = -11 \] \[ -2r = -11 + 5 \] \[ -2r = -6 \quad \Rightarrow \quad r = 3 \] 2. Für die \( y \)-Koordinate: \[ -1 + r = 2 \] \[ r = 2 + 1 = 3 \] 3. Für die \( z \)-Koordinate: \[ a + 4r = 7 \] Setze \( r = 3 \) ein: \[ a + 4 \cdot 3 = 7 \] \[ a + 12 = 7 \] \[ a = 7 - 12 = -5 \] Somit ist der Wert von \( a \), so dass der Punkt \( P(-11, 2, 7) \) auf der Geraden \( g \) liegt, \( a = -5 \).

Um die Funktionsgleichung einer Geraden \( f \) zu bestimmen, die durch die Punkte \( P(-4, -3) \) und \( Q(2, 6) \) verläuft, musst du zunächst die Steigung \( m \) und den y-Achsenabschnitt \( n \) berechnen. 1. **Berechnung der Steigung \( m \):** Die Steigung \( m \) einer Geraden, die durch zwei Punkte \( (x_1, y_1) \) und \( (x_2, y_2) \) verläuft, wird mit der Formel berechnet: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Setze die Koordinaten der Punkte \( P(-4, -3) \) und \( Q(2, 6) \) in die Formel ein: \[ m = \frac{6 - (-3)}{2 - (-4)} = \frac{6 + 3}{2 + 4} = \frac{9}{6} = 1.5 \] 2. **Berechnung des y-Achsenabschnitts \( n \):** Die Funktionsgleichung einer Geraden lautet \( y = mx + n \). Um \( n \) zu finden, setze die Steigung \( m \) und die Koordinaten eines der beiden Punkte in die Gleichung ein. Verwenden wir Punkt \( P(-4, -3) \): \[ -3 = 1.5 \cdot (-4) + n \] \[ -3 = -6 + n \] \[ n = -3 + 6 \] \[ n = 3 \] 3. **Aufstellen der Funktionsgleichung:** Setze die Werte für \( m \) und \( n \) in die Funktionsgleichung ein: \[ y = 1.5x + 3 \] Die Funktionsgleichung der Geraden \( f \) lautet also: \[ y = 1.5x + 3 \]

Um die Gleichung der Geraden \( g_1 \) zu bestimmen, die senkrecht zur Geraden \( g_2 \) ist und durch den Punkt \( P(-2, 5) \) geht, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Steigung der Geraden \( g_2 \):** Die Gleichung der Geraden \( g_2 \) ist \( y = -3x + 3 \). Die Steigung \( m_2 \) dieser Geraden ist -3. 2. **Bestimme die Steigung der senkrechten Geraden \( g_1 \):** Wenn zwei Geraden senkrecht zueinander sind, ist das Produkt ihrer Steigungen -1. Sei \( m_1 \) die Steigung der gesuchten Geraden \( g_1 \). Dann gilt: \[ m_1 \cdot m_2 = -1 \] Da \( m_2 = -3 \), ergibt sich: \[ m_1 \cdot (-3) = -1 \implies m_1 = \frac{1}{3} \] 3. **Verwende den Punkt \( P(-2, 5) \) und die Steigung \( m_1 \), um die Gleichung der Geraden \( g_1 \) zu bestimmen:** Die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung lautet: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Setze \( m = \frac{1}{3} \), \( x_1 = -2 \) und \( y_1 = 5 \) ein: \[ y - 5 = \frac{1}{3}(x + 2) \] 4. **Forme die Gleichung um:** \[ y - 5 = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \] \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} + 5 \] \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} + \frac{15}{3} \] \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{17}{3} \] Die Gleichung der gesuchten Geraden \( g_1 \) lautet also: \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{17}{3} \]

Um eine Geradengleichung mit Punkten und Vektoren aufzustellen, kannst du die Parameterform oder die Koordinatenform verwenden. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung beide Methoden: ### Parameterform (Vektorform) 1. **Bestimme einen Punkt auf der Geraden**: Sei dieser Punkt \( P_0(x_0, y_0, z_0) \). 2. **Bestimme einen Richtungsvektor**: Sei dieser Vektor \( \vec{d} = (a, b, c) \). Dieser Vektor gibt die Richtung der Geraden an. 3. **Parameterform der Geraden**: Die Geradengleichung in Parameterform lautet: \[ \vec{r}(t) = \vec{P_0} + t \cdot \vec{d} \] wobei \( \vec{r}(t) \) der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden ist und \( t \) ein Parameter (reelle Zahl). In Komponentenform: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \] ### Koordinatenform 1. **Bestimme zwei Punkte auf der Geraden**: Sei \( P_1(x_1, y_1, z_1) \) und \( P_2(x_2, y_2, z_2) \). 2. **Berechne den Richtungsvektor**: Der Richtungsvektor \( \vec{d} \) ist die Differenz der beiden Punkte: \[ \vec{d} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix} \] 3. **Parameterform der Geraden**: Verwende einen der beiden Punkte (z.B. \( P_1 \)) und den Richtungsvektor \( \vec{d} \), um die Parameterform wie oben beschrieben aufzustellen. ### Beispiel Gegeben seien die Punkte \( P_1(1, 2, 3) \) und \( P_2(4, 5, 6) \). 1. **Richtungsvektor**: \[ \vec{d} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 5 - 2 \\ 6 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] 2. **Parameterform**: \[ \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] In Komponentenform: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] Das ist die Geradengleichung in Parameterform.