Bestimme die Geradengleichung: P(-1/-4) und Q(3/-2)?

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Bestimme die Geradengleichung: P(-1/-4) und Q(3/-2)?

Antwort

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Was ist die größte gerade Zahl, die aus den Ziffern 4, 9, 1, 3 und 8 gebildet werden kann?

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Können sich vier Geraden in genau zwei Punkten schneiden?

Accepted Answer

Um die Gleichung der Geraden zu bestimmen, die durch die Punkte P(-1, -4) und Q(3, -2) verläuft, kannst du die allgemeine Form der Geradengleichung verwenden. Zuerst berechnest du die Steigung (m) der Geraden: 1. **Steigung (m) berechnen:** \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - (-4)}{3 - (-1)} = \frac{-2 + 4}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 2. **Punkt-Steigungsform der Geradengleichung verwenden:** Die Punkt-Steigungsform lautet: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Wir verwenden den Punkt P(-1, -4): \[ y - (-4) = \frac{1}{2}(x - (-1)) \] Das vereinfacht sich zu: \[ y + 4 = \frac{1}{2}(x + 1) \] 3. **Gleichung umformen:** \[ y + 4 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \] \[ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} - 4 \] \[ y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2} \] Die Gleichung der Geraden in der Form \(y = mx + b\) lautet also: \[ y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2} \]

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Die Gleichung „ein halb mal X gleich 50“ kannst du mathematisch so aufschreiben: \[\frac{1}{2} \cdot x = 50\] Das ist die gesuchte Gleichung.

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Die Gleichung „ein halb mal X gleich 50“ kannst du mathematisch so aufschreiben: \[\frac{1}{2} \cdot x = 50\] Das ist die gesuchte Gleichung.

Kategorie: Mathematik Tags: Gleichung Malnehmen Unbekannte

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Um die größte gerade Zahl aus den Ziffern 4, 9, 1, 3 und 8 zu bilden, muss die letzte Ziffer eine gerade Zahl sein (also 4 oder 8). Man wählt die größte mögliche Ziffe... [mehr]

Accepted Answer

Um die größte gerade Zahl aus den Ziffern 4, 9, 1, 3 und 8 zu bilden, muss die letzte Ziffer eine gerade Zahl sein (also 4 oder 8). Man wählt die größte mögliche Ziffer als letzte Ziffer, also 8. Die restlichen Ziffern (4, 9, 1, 3) ordnet man in absteigender Reihenfolge: 9, 4, 3, 1. Die größte gerade Zahl ist also: **94318**.

Accepted Answer

Es gibt keine größte gerade Zahl. Die Menge der geraden Zahlen ist unendlich, das heißt, zu jeder geraden Zahl kannst du immer noch 2 addieren und erhältst eine noch grö&szl... [mehr]

Accepted Answer

Es gibt keine größte gerade Zahl. Die Menge der geraden Zahlen ist unendlich, das heißt, zu jeder geraden Zahl kannst du immer noch 2 addieren und erhältst eine noch größere gerade Zahl.

Kategorie: Mathematik Tags: Gerade Zahl Unendlich

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Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, nutzt du den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Hier die wichtigsten Schritte: **1. Geradengleichung u... [mehr]

Accepted Answer

Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, nutzt du den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Hier die wichtigsten Schritte: **1. Geradengleichung und Ebenengleichung:** - Gerade: \(\vec{g}(t) = \vec{p} + t \cdot \vec{r}\) (\(\vec{p}\): Stützvektor, \(\vec{r}\): Richtungsvektor) - Ebene: \(\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{q}) = 0\) (\(\vec{n}\): Normalenvektor, \(\vec{q}\): Stützvektor der Ebene) **2. Lagebeziehungen:** **a) Gerade parallel zur Ebene:** Die Gerade ist parallel zur Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{r}\) senkrecht zum Normalenvektor der Ebene \(\vec{n}\) steht, also: \[ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 \] - Falls die Gerade nicht in der Ebene liegt, ist sie echt parallel. - Liegt sie in der Ebene, ist sie eine Teilmenge der Ebene. **b) Gerade schneidet die Ebene:** Die Gerade schneidet die Ebene, wenn: \[ \vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0 \] In diesem Fall gibt es genau einen Schnittpunkt. Diesen erhältst du, indem du die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzt und nach \(t\) auflöst. **c) Gerade liegt in der Ebene:** Die Gerade liegt in der Ebene, wenn sie parallel zur Ebene ist (\(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\)) **und** ein Punkt der Geraden (z.B. \(\vec{p}\)) die Ebenengleichung erfüllt: \[ \vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) = 0 \] **Zusammenfassung:** - \(\vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0\): Schnittpunkt vorhanden. - \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) und \(\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) \neq 0\): Gerade ist parallel, aber nicht in der Ebene. - \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) und \(\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) = 0\): Gerade liegt in der Ebene. **Weitere Infos:** - [Gerade und Ebene im Raum – Mathebibel.de](https://www.mathebibel.de/gerade-und-ebene-im-raum) - [Lagebeziehungen – Serlo.org](https://de.serlo.org/mathe/1887/lagebeziehungen-gerade-ebene) So kannst du mit Richtungs- und Normalenvektor die Lage bestimmen.

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Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor: **1. Geradengleichung und Ebenengleichung aufstellen** - Geradengleichung (Parameterform):... [mehr]

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Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor: **1. Geradengleichung und Ebenengleichung aufstellen** - Geradengleichung (Parameterform): \(\vec{g}(t) = \vec{p} + t \cdot \vec{r}\) (\(\vec{p}\): Stützvektor, \(\vec{r}\): Richtungsvektor, \(t \in \mathbb{R}\)) - Ebenengleichung (Normalenform): \(\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{q}) = 0\) (\(\vec{n}\): Normalenvektor, \(\vec{q}\): Stützvektor der Ebene) oder (Parameterform): \(\vec{x} = \vec{q} + s \cdot \vec{u} + r \cdot \vec{v}\) (\(\vec{u}, \vec{v}\): Spannvektoren) **2. Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung** Setze \(\vec{g}(t)\) für \(\vec{x}\) in die Ebenengleichung ein und löse nach \(t\): - In der Normalenform: \(\vec{n} \cdot (\vec{g}(t) - \vec{q}) = 0\) **3. Fallunterscheidung** - **a) Es gibt genau eine Lösung für \(t\):** Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt (sie sind **schneidend**). - **b) Es gibt keine Lösung für \(t\):** Die Gerade ist **parallel** zur Ebene. Das ist der Fall, wenn der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{r}\) senkrecht zum Normalenvektor der Ebene \(\vec{n}\) steht (\(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\)), aber der Stützvektor der Geraden nicht in der Ebene liegt. - **c) Es gibt unendlich viele Lösungen für \(t\):** Die Gerade liegt **in der Ebene**. Das ist der Fall, wenn \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) und der Stützvektor der Geraden die Ebenengleichung erfüllt. **Zusammengefasst:** 1. Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein. 2. Löse nach \(t\). 3. Prüfe, wie viele Lösungen es gibt: - Eine Lösung: schneidend - Keine Lösung: parallel - Unendlich viele Lösungen: Gerade liegt in der Ebene **Tipp:** Oft hilft es, die Normalenform der Ebene zu verwenden, da das Skalarprodukt (\(\vec{n} \cdot \vec{r}\)) direkt zeigt, ob die Gerade parallel zur Ebene ist. Weitere Infos findest du z.B. bei [Mathebibel.de](https://www.mathebibel.de/gerade-und-ebene-im-raum).

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Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor: **1. Geradengleichung und Ebenengleichung aufstellen:** - Gerade in Parameterform: ... [mehr]

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Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor: **1. Geradengleichung und Ebenengleichung aufstellen:** - Gerade in Parameterform:

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Um von der Gleichung \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umformen, dass \( x \) isoliert wird und dann beide Seiten umstellen. Hier ist der Rechenw... [mehr]

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Um von der Gleichung \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umformen, dass \( x \) isoliert wird und dann beide Seiten umstellen. Hier ist der Rechenweg: 1. **Starte mit der Gleichung:** \[ 8 = \frac{1}{3^x} \] 2. **Beide Seiten mit \( 3^x \) multiplizieren:** \[ 8 \cdot 3^x = 1 \] 3. **Beide Seiten durch 8 teilen:** \[ 3^x = \frac{1}{8} \] 4. **Beide Seiten logarithmieren (z.B. mit dem natürlichen Logarithmus):** \[ \ln(3^x) = \ln\left(\frac{1}{8}\right) \] \[ x \cdot \ln(3) = -\ln(8) \] \[ x = \frac{-\ln(8)}{\ln(3)} \] 5. **Alternativ: Schreibe \( \frac{1}{8} \) als \( 8^{-1} \) und setze \( 3^x = 8^{-1} \):** \[ 3^x = 8^{-1} \] \[ 3^x = (2^3)^{-1} \] \[ 3^x = 2^{-3} \] 6. **Logarithmiere beide Seiten (z.B. mit Logarithmus zur Basis 3):** \[ x = \log_3(2^{-3}) \] \[ x = -3 \cdot \log_3(2) \] 7. **Jetzt möchtest du zu \( x^3 = \frac{1}{8} \) kommen.** Das ist eine andere Gleichung, die du erhältst, wenn du die ursprüngliche Gleichung umstellst, indem du beide Seiten mit der dritten Wurzel versiehst: \[ 3^x = \frac{1}{8} \] \[ x = \log_3\left(\frac{1}{8}\right) \] \[ x = \log_3(8^{-1}) = -\log_3(8) \] Jetzt betrachte die Gleichung \( x^3 = \frac{1}{8} \): \[ x^3 = \frac{1}{8} \] \[ x = \left(\frac{1}{8}\right)^{1/3} \] \[ x = \frac{1}{2} \] **Fazit:** Um von \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umstellen, dass \( 3^x = \frac{1}{8} \) gilt, und dann die Variable \( x \) als Basis einer Potenz schreiben, sodass \( x^3 = \frac{1}{8} \) entsteht. Das ist mathematisch gesehen ein Umstellen der Gleichung und ein Wechsel der Variablenrolle. **Zusammengefasst:** Du stellst die Gleichung so um, dass die Variable \( x \) auf einer Seite als Basis mit Exponent 3 steht und auf der anderen Seite \( \frac{1}{8} \) ist. Das ist eine Umformung durch Potenzgesetze und Umstellen der Gleichung.

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Ein Beispiel für zwei Zahlen, deren Mitte eine gerade Zahl ist, sind 3 und 7. Die Mitte (das arithmetische Mittel) berechnet sich so: (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5 Allerdings ist 5 eine ungerade Zah... [mehr]

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Ein Beispiel für zwei Zahlen, deren Mitte eine gerade Zahl ist, sind 3 und 7. Die Mitte (das arithmetische Mittel) berechnet sich so: (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5 Allerdings ist 5 eine ungerade Zahl. Um eine gerade Zahl als Mitte zu erhalten, wähle zum Beispiel die Zahlen 2 und 6: (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4 Die Mitte ist 4, also eine gerade Zahl. Ein weiteres Beispiel wären 4 und 8: (4 + 8) / 2 = 12 / 2 = 6 Auch hier ist die Mitte eine gerade Zahl.

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Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1... [mehr]

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Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] nach \( a \) auflösen möchtest. **Schritt 1: Schreibe die Gleichung auf** \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] **Schritt 2: Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren** \[ a = 2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2} \] **Schritt 3: Alle Terme mit \( a \) auf eine Seite bringen** \[ a - 2^{-1/2} \cdot a = 1^{-1/2} \] \[ a (1 - 2^{-1/2}) = 1^{-1/2} \] **Schritt 4: Nach \( a \) auflösen** \[ a = \frac{1^{-1/2}}{1 - 2^{-1/2}} \] **Schritt 5: Werte berechnen** - \( 1^{-1/2} = 1 \), weil jede Zahl hoch 0 ist 1 und jede Zahl hoch negativ ist der Kehrwert, aber 1 bleibt 1. - \( 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) Also: \[ a = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \] **Schritt 6: Bruch vereinfachen** \[ a = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} \] \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \] **Optional: Bruch rationalisieren** \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \] **Endergebnis:** \[ a = 2 + \sqrt{2} \] Das ist die Lösung für \( a \).

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Vier Geraden können sich in genau zwei Punkten schneiden, aber nur unter bestimmten Bedingungen: - Zwei der Geraden müssen sich in einem Punkt schneiden. - Die anderen beiden Geraden mü... [mehr]

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Vier Geraden können sich in genau zwei Punkten schneiden, aber nur unter bestimmten Bedingungen: - Zwei der Geraden müssen sich in einem Punkt schneiden. - Die anderen beiden Geraden müssen sich in einem anderen Punkt schneiden. - Keine der Geraden darf die anderen Schnittpunkte treffen, und keine drei Geraden dürfen sich in einem Punkt schneiden. Ein einfaches Beispiel: Zeichne zwei Geraden, die sich in Punkt A schneiden, und zwei weitere Geraden, die sich in Punkt B schneiden. Die beiden Paare sind so angeordnet, dass sie sich gegenseitig nicht schneiden. Dann gibt es genau zwei Schnittpunkte. **Fazit:** Ja, es ist möglich, dass sich vier Geraden in genau zwei Punkten schneiden.