Die Gerade g ist gegeben durch die Geradengleichung g: v = –5 –1 a + r⋅(–2 1 4) mit r ∊ ℝ. Bestimme a, so dass P –11|2|7 auf g liegt.

Um zu bestimmen, für welches \( a \) der Punkt \( P(-11, 2, 7) \) auf der Geraden \( g \) liegt, setzen wir die Koordinaten von \( P \) in die Geradengleichung ein. Die Geradengleichung ist gegeben durch: \[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ a \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \] Das bedeutet, dass die Koordinaten der Geraden \( g \) für einen Parameter \( r \) wie folgt aussehen: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 - 2r \\ -1 + r \\ a + 4r \end{pmatrix} \] Um zu überprüfen, ob der Punkt \( P(-11, 2, 7) \) auf der Geraden liegt, setzen wir die Koordinaten von \( P \) gleich den Koordinaten der Geraden: 1. Für die \( x \)-Koordinate: \[ -5 - 2r = -11 \] \[ -2r = -11 + 5 \] \[ -2r = -6 \quad \Rightarrow \quad r = 3 \] 2. Für die \( y \)-Koordinate: \[ -1 + r = 2 \] \[ r = 2 + 1 = 3 \] 3. Für die \( z \)-Koordinate: \[ a + 4r = 7 \] Setze \( r = 3 \) ein: \[ a + 4 \cdot 3 = 7 \] \[ a + 12 = 7 \] \[ a = 7 - 12 = -5 \] Somit ist der Wert von \( a \), so dass der Punkt \( P(-11, 2, 7) \) auf der Geraden \( g \) liegt, \( a = -5 \).