Wie stelle ich Geradengleichungen mit Punkten und Vektoren auf?

Um eine Geradengleichung mit Punkten und Vektoren aufzustellen, kannst du die Parameterform oder die Koordinatenform verwenden. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung beide Methoden: ### Parameterform (Vektorform) 1. **Bestimme einen Punkt auf der Geraden**: Sei dieser Punkt \( P_0(x_0, y_0, z_0) \). 2. **Bestimme einen Richtungsvektor**: Sei dieser Vektor \( \vec{d} = (a, b, c) \). Dieser Vektor gibt die Richtung der Geraden an. 3. **Parameterform der Geraden**: Die Geradengleichung in Parameterform lautet: \[ \vec{r}(t) = \vec{P_0} + t \cdot \vec{d} \] wobei \( \vec{r}(t) \) der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden ist und \( t \) ein Parameter (reelle Zahl). In Komponentenform: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \] ### Koordinatenform 1. **Bestimme zwei Punkte auf der Geraden**: Sei \( P_1(x_1, y_1, z_1) \) und \( P_2(x_2, y_2, z_2) \). 2. **Berechne den Richtungsvektor**: Der Richtungsvektor \( \vec{d} \) ist die Differenz der beiden Punkte: \[ \vec{d} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{pmatrix} \] 3. **Parameterform der Geraden**: Verwende einen der beiden Punkte (z.B. \( P_1 \)) und den Richtungsvektor \( \vec{d} \), um die Parameterform wie oben beschrieben aufzustellen. ### Beispiel Gegeben seien die Punkte \( P_1(1, 2, 3) \) und \( P_2(4, 5, 6) \). 1. **Richtungsvektor**: \[ \vec{d} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 5 - 2 \\ 6 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] 2. **Parameterform**: \[ \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] In Komponentenform: \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] Das ist die Geradengleichung in Parameterform.