Wie stelle ich Geradengleichungen mit Punkten und Vektoren auf?

Um eine Geradengleichung mit Punkten und Vektoren aufzustellen, kannst du die Parameterform oder die Koordinatenform verwenden. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung beide Methoden:

### Parameterform (Vektorform)

1. **Bestimme einen Punkt auf der Geraden**: Sei dieser Punkt \( P_0(x_0, y_0, z_0) \).

2. **Bestimme einen Richtungsvektor**: Sei dieser Vektor \( \vec{d} = (a, b, c) \). Dieser Vektor gibt die Richtung der Geraden an.

3. **Parameterform der Geraden**: Die Geradengleichung in Parameterform lautet:
\[
\vec{r}(t) = \vec{P_0} + t \cdot \vec{d}
\]
wobei \( \vec{r}(t) \) der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden ist und \( t \) ein Parameter (reelle Zahl).

In Komponentenform:
\[
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix}
+ t \cdot
\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}
\]

### Koordinatenform

1. **Bestimme zwei Punkte auf der Geraden**: Sei \( P_1(x_1, y_1, z_1) \) und \( P_2(x_2, y_2, z_2) \).

2. **Berechne den Richtungsvektor**: Der Richtungsvektor \( \vec{d} \) ist die Differenz der beiden Punkte:
\[
\vec{d} = \begin{pmatrix}
x_2 - x_1 \\
y_2 - y_1 \\
z_2 - z_1
\end{pmatrix}
\]

3. **Parameterform der Geraden**: Verwende einen der beiden Punkte (z.B. \( P_1 \)) und den Richtungsvektor \( \vec{d} \), um die Parameterform wie oben beschrieben aufzustellen.

### Beispiel

Gegeben seien die Punkte \( P_1(1, 2, 3) \) und \( P_2(4, 5, 6) \).

1. **Richtungsvektor**:
\[
\vec{d} = \begin{pmatrix}
4 - 1 \\
5 - 2 \\
6 - 3
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
3 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]

2. **Parameterform**:
\[
\vec{r}(t) = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}
+ t \cdot \begin{pmatrix}
3 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]

In Komponentenform:
\[
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}
+ t \cdot
\begin{pmatrix}
3 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]

Das ist die Geradengleichung in Parameterform.