23 Fragen zu Scheitelpunktform

Um die Funktion \( F(x) = 3x^2 - 9x - 12 \) in die Scheitelpunktform zu bringen, folge diesen Schritten: 1. **Faktor ausklammern**: Zuerst klammern wir den Faktor 3 aus den ersten beiden Termen aus: \[ F(x) = 3(x^2 - 3x) - 12 \] 2. **Quadratische Ergänzung**: Um die quadratische Ergänzung durchzuführen, nehmen wir den Koeffizienten von \( x \) (das ist -3), teilen ihn durch 2 und quadrieren das Ergebnis: \[ \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \] Jetzt fügen wir und subtrahieren wir \( \frac{9}{4} \) innerhalb der Klammer: \[ F(x) = 3\left(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}\right) - 12 \] Das vereinfacht sich zu: \[ F(x) = 3\left((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\right) - 12 \] 3. **Vereinfachen**: Jetzt multiplizieren wir den Faktor 3 aus: \[ F(x) = 3(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} - 12 \] Um \( -12 \) in einen Bruch umzuwandeln, schreiben wir es als \( -\frac{48}{4} \): \[ F(x) = 3(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} - \frac{48}{4} \] Das ergibt: \[ F(x) = 3(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{75}{4} \] Die Scheitelpunktform der Funktion ist somit: \[ F(x) = 3\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{75}{4} \] Der Scheitelpunkt ist \( \left(\frac{3}{2}, -\frac{75}{4}\right) \).

Um die Funktion \( f(x) = x^2 - 6x - 3 \) in die Scheitelpunktform zu bringen, verwendest du die quadratische Ergänzung. 1. Beginne mit der Funktion: \[ f(x) = x^2 - 6x - 3 \] 2. Nimm die Koeffizienten von \( x \) (hier -6), teile ihn durch 2 und quadriere das Ergebnis: \[ \left(-\frac{6}{2}\right)^2 = 9 \] 3. Füge und subtrahiere diesen Wert in der Funktion: \[ f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 3 \] 4. Schreibe die quadratische Ergänzung als Quadrat: \[ f(x) = (x - 3)^2 - 12 \] Die Scheitelpunktform der Funktion ist also: \[ f(x) = (x - 3)^2 - 12 \] Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \( (3, -12) \).

Um die Scheitelpunktform der Funktion \( f(x) = -0,004x^2 + 1,2x - 32,4 \) zu bestimmen, kannst du die allgemeine Form einer quadratischen Funktion \( f(x) = ax^2 + bx + c \) in die Scheitelpunktform \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) umwandeln. Hierbei sind \( h \) und \( k \) die Koordinaten des Scheitelpunkts. 1. **Berechne \( h \)**: \[ h = -\frac{b}{2a} = -\frac{1,2}{2 \cdot -0,004} = -\frac{1,2}{-0,008} = 150 \] 2. **Berechne \( k \)**, indem du \( h \) in die Funktion einsetzt: \[ k = f(150) = -0,004(150)^2 + 1,2(150) - 32,4 \] \[ = -0,004 \cdot 22500 + 180 - 32,4 \] \[ = -90 + 180 - 32,4 = 57,6 \] 3. **Setze \( h \) und \( k \) in die Scheitelpunktform ein**: \[ f(x) = -0,004(x - 150)^2 + 57,6 \] Die Scheitelpunktform der Funktion ist also: \[ f(x) = -0,004(x - 150)^2 + 57,6 \]

Um die Scheitelpunktform der Funktion \( f(x) = \frac{3}{4}x^2 + 3x + \frac{7}{3} \) zu bestimmen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden. 1. **Faktor vor \( x^2 \) herausziehen**: \[ f(x) = \frac{3}{4} \left( x^2 + 4x \right) + \frac{7}{3} \] 2. **Quadratische Ergänzung**: Um \( x^2 + 4x \) in eine quadratische Form zu bringen, ergänzen wir: \[ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 \] Setze dies in die Funktion ein: \[ f(x) = \frac{3}{4} \left( (x + 2)^2 - 4 \right) + \frac{7}{3} \] 3. **Ausmultiplizieren**: \[ f(x) = \frac{3}{4}(x + 2)^2 - 3 + \frac{7}{3} \] 4. **Brüche zusammenfassen**: Um die konstanten Terme zu addieren, bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner (12): \[ -3 = -\frac{36}{12}, \quad \frac{7}{3} = \frac{28}{12} \] Somit: \[ -3 + \frac{7}{3} = -\frac{36}{12} + \frac{28}{12} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3} \] 5. **Endform**: Setze alles zusammen: \[ f(x) = \frac{3}{4}(x + 2)^2 - \frac{2}{3} \] Die Scheitelpunktform der Funktion ist also: \[ f(x) = \frac{3}{4}(x + 2)^2 - \frac{2}{3} \]

Um die Scheitelpunktform der Funktion \( f(x) = -x^2 + 6x + 8 \) zu finden, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden. 1. Zuerst die Funktion umformen: \[ f(x) = - (x^2 - 6x) + 8 \] 2. Jetzt die quadratische Ergänzung durchführen. Dazu nimmst du den Koeffizienten von \( x \) (hier -6), halbierst ihn (gibt -3) und quadrierst ihn (gibt 9): \[ f(x) = - (x^2 - 6x + 9 - 9) + 8 \] \[ = - ((x - 3)^2 - 9) + 8 ] \[ = - (x - 3)^2 + 9 + 8 \] \[ = - (x - 3)^2 + 17 \] Die Scheitelpunktform der Funktion ist also: \[ f(x) = - (x - 3)^2 + 17 \] Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \( (3, 17) \).

Die Scheitelpunktform einer Funktion vierten Grades hat die allgemeine Form: \[ f(x) = a(x - h)^4 + k \] Hierbei ist \( (h, k) \) der Scheitelpunkt der Funktion und \( a \) bestimmt die Öffnung und die Steilheit der Parabel. Um eine Funktion vierten Grades in die Scheitelpunktform zu bringen, musst du die Funktion zunächst in die Form \( f(x) = a(x - h)^4 + k \) umformen. Dies kann durch Faktorisierung und das Anwenden von quadratischen Ergänzungen geschehen. Falls du eine spezifische Funktion hast, kann ich dir helfen, diese in die Scheitelpunktform zu bringen.

Die Scheitelpunktform einer Parabel wird allgemein in der Form \( y = a(x - h)^2 + k \) dargestellt, wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt der Parabel ist. Für den gegebenen Scheitel \( P(2; 0,4) \) sind \( h = 2 \) und \( k = 0,4 \). Die Scheitelpunktform lautet also: \[ y = a(x - 2)^2 + 0,4 \] Hierbei ist \( a \) ein Parameter, der die Öffnung und die Steilheit der Parabel bestimmt. Wenn du den Wert von \( a \) angibst, kann die Gleichung weiter spezifiziert werden.

Um die Scheitelpunktform der Funktion \( f(x) = -\frac{1}{3}x^2 - 2x + 7 \) zu bestimmen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden. 1. Zuerst die Funktion umformen: \[ f(x) = -\frac{1}{3}(x^2 + 6x) + 7 \] 2. Jetzt die quadratische Ergänzung durchführen. Dazu nimmst du den Koeffizienten von \( x \) (hier 6), halbierst ihn (3) und quadrierst das Ergebnis (9): \[ f(x) = -\frac{1}{3}(x^2 + 6x + 9 - 9) + 7 \] \[ = -\frac{1}{3}((x + 3)^2 - 9) + 7 \] 3. Das vereinfacht sich zu: \[ f(x) = -\frac{1}{3}(x + 3)^2 + 3 + 7 \] \[ = -\frac{1}{3}(x + 3)^2 + \frac{30}{3} \] \[ = -\frac{1}{3}(x + 3)^2 + \frac{33}{3} \] 4. Schließlich erhältst du die Scheitelpunktform: \[ f(x) = -\frac{1}{3}(x + 3)^2 + 11 \] Der Scheitelpunkt der Parabel ist somit \( S(-3, 11) \).

Um die Funktion \( f(x) = -3x^2 + 6x + 7 \) in die Scheitelpunktform zu bringen, verwenden wir die Methode der quadratischen Ergänzung. 1. Zuerst faktorisieren wir den Koeffizienten von \( x^2 \) aus den ersten beiden Termen: \[ f(x) = -3(x^2 - 2x) + 7 \] 2. Nun ergänzen wir das Quadrat. Dazu nehmen wir den Koeffizienten von \( x \) (hier -2), halbieren ihn (-1) und quadrieren das Ergebnis (1): \[ f(x) = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 7 \] \[ = -3((x - 1)^2 - 1) + 7 \] 3. Jetzt setzen wir die Klammer auf: \[ = -3(x - 1)^2 + 3 + 7 \] \[ = -3(x - 1)^2 + 10 \] Die Scheitelpunktform der Funktion ist also: \[ f(x) = -3(x - 1)^2 + 10 \] Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \( (1, 10) \).

Um die Funktion \(-3x² + 6x + 7\) in Scheitelpunktform zu bringen, verwenden wir die Methode der quadratischen Ergänzung. 1. Zuerst faktorisieren wir den Koeffizienten von \(x²\) aus den ersten beiden Termen: \[ -3(x² - 2x) + 7 \] 2. Nun ergänzen wir das Quadrat. Dazu nehmen wir den Koeffizienten von \(x\) (hier -2), halbieren ihn (-1) und quadrieren das Ergebnis (1): \[ -3(x² - 2x + 1 - 1) + 7 \] Das ergibt: \[ -3((x - 1)² - 1) + 7 \] 3. Jetzt multiplizieren wir aus: \[ -3(x - 1)² + 3 + 7 \] Das vereinfacht sich zu: \[ -3(x - 1)² + 10 \] Die Scheitelpunktform der Funktion ist somit: \[ y = -3(x - 1)² + 10 \] Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt bei \((1, 10)\).

Um die Funktion \( f(x) = 3 \cdot (x - 4) \cdot (x + 2) \) in die Scheitelpunktform umzuformen, folge diesen Schritten: 1. Multipliziere die Klammern aus: \[ f(x) = 3 \cdot (x^2 + 2x - 4x - 8) = 3 \cdot (x^2 - 2x - 8) \] \[ f(x) = 3x^2 - 6x - 24 \] 2. Jetzt bringen wir die quadratische Funktion in die Scheitelpunktform \( f(x) = a(x - h)^2 + k \). Dazu vervollständigen wir das Quadrat. Zuerst faktorisieren wir den Koeffizienten von \( x^2 \): \[ f(x) = 3(x^2 - 2x) - 24 \] 3. Vervollständige das Quadrat für den Ausdruck \( x^2 - 2x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] 4. Setze dies in die Funktion ein: \[ f(x) = 3((x - 1)^2 - 1) - 24 \] \[ f(x) = 3(x - 1)^2 - 3 - 24 \] \[ f(x) =3(x - 1)^2 - 27 \] Die Scheitelpunktform der Funktion ist somit: \[ f(x) = 3(x - 1)^2 - 27 \] Der Scheitelpunkt ist bei \( (1, -27) \).

Um die quadratische Funktion \( f(x) = 2x^2 + 8x + 6 \) in Scheitelpunktform zu bringen, folge diesen Schritten: 1. **Faktor ausklammern**: Zuerst klammern wir den Faktor 2 aus den ersten beiden Termen aus: \[ f(x) = 2(x^2 + 4x) + 6 \] 2. **Quadratische Ergänzung**: Um die quadratische Ergänzung durchzuführen, nehmen wir den Koeffizienten von \( x \) (hier 4), teilen ihn durch 2 und quadrieren das Ergebnis: \[ \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2 = 4 \] Jetzt fügen wir und subtrahieren wir 4 innerhalb der Klammer: \[ f(x) = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 6 \] Das vereinfacht sich zu: \[ f(x) = 2((x + 2)^2 - 4) + 6 \] 3. **Vereinfachen**: Jetzt multiplizieren wir die 2 aus und fassen die konstanten Terme zusammen: \[ f(x) = 2(x + 2)^2 - 8 + 6 \] \[ f(x) = 2(x + 2)^2 - 2 \] Die Scheitelpunktform der Funktion ist also: \[ f(x) = 2(x + 2)^2 - 2 \] Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt bei \( S(-2, -2) \).

Um die Scheitelpunktform einer Funktion \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) zu bestimmen, müssen wir die gegebene Funktion in diese Form umwandeln. Dies geschieht in der Regel durch das Ausmultiplizieren und anschließende Zusammenfassen der Terme oder durch die Anwendung der quadratischen Ergänzung. Hier sind die Schritte für die angegebenen Funktionen: a) \( f(x) = (x + 2)(x - 6) \) 1. Multipliziere die Terme aus: \[ f(x) = x^2 - 6x + 2x - 12 = x^2 - 4x - 12 \] 2. Finde den Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung: \[ f(x) = x^2 - 4x - 12 = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 12 = (x - 2)^2 - 16 \] 3. Scheitelpunktform: \[ f(x) = (x - 2)^2 - 16 \] b) \( f(x) = 2.5(x - 1)(x - 5) \) 1. Multipliziere die Terme aus: \[ f(x) = 2.5(x^2 - 5x - x + 5) = 2.5(x^2 - 6x + 5) = 2.5x^2 - 15x + 12.5 \] 2. Finde den Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung: \[ f(x) = 2.5(x^2 - 6x) + 12.5 = 2.5((x^2 - 6x + 9) - 9) + 12.5 = 2.5(x - 3)^2 - 22.5 + 12.5 \] 3. Scheitelpunktform: \[ f(x) = 2.5(x - 3)^2 - 10 \] c) \( f(x) = -3(x + 1.5)(x + 3.5) \) 1. Multipliziere die Terme aus: \[ f(x) = -3(x^2 + 3.5x + 1.5x + 5.25) = -3(x^2 + 5x + 5.25) = -3x^2 - 15x - 15.75 \] 2. Finde den Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung: \[ f(x) = -3(x^2 + 5x) - 15.75 = -3((x^2 + 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4}) - 15.75 \] \[ = -3\left((x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}\right) - 15.75 = -3(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{75}{4} - 15.75 \] \[ = -3(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{75}{4} - \frac{63}{4} = -3(x + \frac{5}{2})^2 + 3 \] 3. Scheitelpunktform: \[ f(x) = -3(x + \frac{5}{2})^2 + 3 \] Zusammenfassend sind die Scheitelpunktformen: a) \( f(x) = (x - 2)^2 - 16 \) b) \( f(x) = 2.5(x - 3)^2 - 10 \) c) \( f(x) = -3(x + \frac{5}{2})^2 + 3 \)

Die Scheitelpunktform einer Parabel wird in der folgenden Form dargestellt: \[ y = a(x - h)^2 + k \] Hierbei ist \( (h, k) \) der Scheitelpunkt der Parabel und \( a \) bestimmt die Öffnungsrichtung und die Breite der Parabel. Wenn \( a > 0 \), öffnet die Parabel nach oben, und wenn \( a < 0 \), öffnet sie nach unten. Um die Scheitelpunktform zu schreiben, musst du den Scheitelpunkt und den Wert von \( a \) kennen.

Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Form der Darstellung einer quadratischen Funktion. Sie wird häufig verwendet, um den Scheitelpunkt (den höchsten oder tiefsten Punkt) einer Parabel leicht zu erkennen. Die allgemeine Form der Scheitelpunktform lautet: \[ f(x) = a(x - h)^2 + k \] Hierbei ist: - \( a \) der Faktor, der die Öffnung der Parabel bestimmt (ob sie nach oben oder unten geöffnet ist), - \( (h, k) \) die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel. In dieser Form kannst du direkt ablesen, wo der Scheitelpunkt liegt und wie die Parabel verläuft. Wenn \( a > 0 \), öffnet die Parabel nach oben, und wenn \( a < 0 \), öffnet sie nach unten.