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Was ist die Scheitelpunktform von f(x) = 3/4 x² + 3x + 7/3?
Antwort vomUm die Scheitelpunktform der Funktion \( f(x) = \frac{3}{4}x^2 + 3x + \frac{7}{3} \) zu bestimmen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden. 1. **Faktor vor \( x^2 \) herausziehen**: \[ f(x) = \frac{3}{4} \left( x^2 + 4x \right) + \frac{7}{3} \] 2. **Quadratische Ergänzung**: Um \( x^2 + 4x \) in eine quadratische Form zu bringen, ergänzen wir: \[ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 \] Setze dies in die Funktion ein: \[ f(x) = \frac{3}{4} \left( (x + 2)^2 - 4 \right) + \frac{7}{3} \] 3. **Ausmultiplizieren**: \[ f(x) = \frac{3}{4}(x + 2)^2 - 3 + \frac{7}{3} \] 4. **Brüche zusammenfassen**: Um die konstanten Terme zu addieren, bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner (12): \[ -3 = -\frac{36}{12}, \quad \frac{7}{3} = \frac{28}{12} \] Somit: \[ -3 + \frac{7}{3} = -\frac{36}{12} + \frac{28}{12} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3} \] 5. **Endform**: Setze alles zusammen: \[ f(x) = \frac{3}{4}(x + 2)^2 - \frac{2}{3} \] Die Scheitelpunktform der Funktion ist also: \[ f(x) = \frac{3}{4}(x + 2)^2 - \frac{2}{3} \]
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