Gegeben \(f(x)=(x-1)^2\). Ableiten (Kettenregel): \[ f'(x)=2(x-1)\cdot 1=2(x-1)=2x-2. \]
F(x)=3x^2-9x-12 in die Scheitelpunktform umwandeln?
Antwort vomUm die Funktion \( F(x) = 3x^2 - 9x - 12 \) in die Scheitelpunktform zu bringen, folge diesen Schritten: 1. **Faktor ausklammern**: Zuerst klammern wir den Faktor 3 aus den ersten beiden Termen aus: \[ F(x) = 3(x^2 - 3x) - 12 \] 2. **Quadratische Ergänzung**: Um die quadratische Ergänzung durchzuführen, nehmen wir den Koeffizienten von \( x \) (das ist -3), teilen ihn durch 2 und quadrieren das Ergebnis: \[ \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \] Jetzt fügen wir und subtrahieren wir \( \frac{9}{4} \) innerhalb der Klammer: \[ F(x) = 3\left(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}\right) - 12 \] Das vereinfacht sich zu: \[ F(x) = 3\left((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\right) - 12 \] 3. **Vereinfachen**: Jetzt multiplizieren wir den Faktor 3 aus: \[ F(x) = 3(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} - 12 \] Um \( -12 \) in einen Bruch umzuwandeln, schreiben wir es als \( -\frac{48}{4} \): \[ F(x) = 3(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} - \frac{48}{4} \] Das ergibt: \[ F(x) = 3(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{75}{4} \] Die Scheitelpunktform der Funktion ist somit: \[ F(x) = 3\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{75}{4} \] Der Scheitelpunkt ist \( \left(\frac{3}{2}, -\frac{75}{4}\right) \).
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