F(x)=3x^2-9x-12 in die Scheitelpunktform umwandeln?

Um die Funktion \( F(x) = 3x^2 - 9x - 12 \) in die Scheitelpunktform zu bringen, folge diesen Schritten:

1. **Faktor ausklammern**: Zuerst klammern wir den Faktor 3 aus den ersten beiden Termen aus:
\[
F(x) = 3(x^2 - 3x) - 12
\]

2. **Quadratische Ergänzung**: Um die quadratische Ergänzung durchzuführen, nehmen wir den Koeffizienten von \( x \) (das ist -3), teilen ihn durch 2 und quadrieren das Ergebnis:
\[
\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}
\]
Jetzt fügen wir und subtrahieren wir \( \frac{9}{4} \) innerhalb der Klammer:
\[
F(x) = 3\left(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}\right) - 12
\]
Das vereinfacht sich zu:
\[
F(x) = 3\left((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\right) - 12
\]

3. **Vereinfachen**: Jetzt multiplizieren wir den Faktor 3 aus:
\[
F(x) = 3(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} - 12
\]
Um \( -12 \) in einen Bruch umzuwandeln, schreiben wir es als \( -\frac{48}{4} \):
\[
F(x) = 3(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} - \frac{48}{4}
\]
Das ergibt:
\[
F(x) = 3(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{75}{4}
\]

Die Scheitelpunktform der Funktion ist somit:
\[
F(x) = 3\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{75}{4}
\]

Der Scheitelpunkt ist \( \left(\frac{3}{2}, -\frac{75}{4}\right) \).