Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Bestimme die Scheitelpunktform der Funktion f.
Antwort vomUm die Scheitelpunktform einer Funktion \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) zu bestimmen, müssen wir die gegebene Funktion in diese Form umwandeln. Dies geschieht in der Regel durch das Ausmultiplizieren und anschließende Zusammenfassen der Terme oder durch die Anwendung der quadratischen Ergänzung. Hier sind die Schritte für die angegebenen Funktionen: a) \( f(x) = (x + 2)(x - 6) \) 1. Multipliziere die Terme aus: \[ f(x) = x^2 - 6x + 2x - 12 = x^2 - 4x - 12 \] 2. Finde den Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung: \[ f(x) = x^2 - 4x - 12 = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 12 = (x - 2)^2 - 16 \] 3. Scheitelpunktform: \[ f(x) = (x - 2)^2 - 16 \] b) \( f(x) = 2.5(x - 1)(x - 5) \) 1. Multipliziere die Terme aus: \[ f(x) = 2.5(x^2 - 5x - x + 5) = 2.5(x^2 - 6x + 5) = 2.5x^2 - 15x + 12.5 \] 2. Finde den Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung: \[ f(x) = 2.5(x^2 - 6x) + 12.5 = 2.5((x^2 - 6x + 9) - 9) + 12.5 = 2.5(x - 3)^2 - 22.5 + 12.5 \] 3. Scheitelpunktform: \[ f(x) = 2.5(x - 3)^2 - 10 \] c) \( f(x) = -3(x + 1.5)(x + 3.5) \) 1. Multipliziere die Terme aus: \[ f(x) = -3(x^2 + 3.5x + 1.5x + 5.25) = -3(x^2 + 5x + 5.25) = -3x^2 - 15x - 15.75 \] 2. Finde den Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung: \[ f(x) = -3(x^2 + 5x) - 15.75 = -3((x^2 + 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4}) - 15.75 \] \[ = -3\left((x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}\right) - 15.75 = -3(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{75}{4} - 15.75 \] \[ = -3(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{75}{4} - \frac{63}{4} = -3(x + \frac{5}{2})^2 + 3 \] 3. Scheitelpunktform: \[ f(x) = -3(x + \frac{5}{2})^2 + 3 \] Zusammenfassend sind die Scheitelpunktformen: a) \( f(x) = (x - 2)^2 - 16 \) b) \( f(x) = 2.5(x - 3)^2 - 10 \) c) \( f(x) = -3(x + \frac{5}{2})^2 + 3 \)
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