Worin unterscheidet sich die Kurvenerzeugung der Parabel y=x^2 von der des Kreises y=(r^2-x^2)^{1/2}, sodass Euklid sie nicht zulässt?

Question

Worin unterscheidet sich die Kurvenerzeugung der Parabel y=x^2 von der des Kreises y=(r^2-x^2)^{1/2}, sodass Euklid sie nicht zulässt?

Antwort

Verwandte Fragen

Parabel schneidet bei x = -2 und x = 4 die x-Achse. Wie lautet b und die Parabelgleichung?

Was sind Radius und Durchmesser einfach erklärt?

Was bedeutet ein Radius von 5 Metern?

Warum ist ein exaktes Winkeldritteln mit Hilfe der Parabel y = x^2 für beliebige Winkel möglich, obwohl es als unmöglich bewiesen ist?

Accepted Answer

Die Unterschiede in der Kurvenerzeugung zwischen der Parabel \( y = x^2 \) und dem Kreis \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) liegen in den Prinzipien der klassischen euklidischen Geometrie, wie sie Euklid in seinen „Elementen“ festgelegt hat. **1. Euklidische Konstruktionen:** Euklid erlaubt nur Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Das bedeutet, es dürfen nur Geraden und Kreise (bzw. Kreisbögen) gezeichnet werden, die durch diese Werkzeuge entstehen. **2. Kreis:** Die Gleichung \( x^2 + y^2 = r^2 \) beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius \( r \). Einen Kreis kann man mit Zirkel und Lineal nach Euklid konstruieren, indem man einen festen Punkt (Mittelpunkt) und einen festen Abstand (Radius) vorgibt. **3. Parabel:** Die Gleichung \( y = x^2 \) beschreibt eine Parabel. Parabeln sind Kegelschnitte, die entstehen, wenn man einen Kegel mit einer Ebene schneidet, die parallel zu einer Mantellinie des Kegels verläuft. Die Parabel lässt sich jedoch **nicht** mit Zirkel und Lineal konstruieren. Es gibt kein euklidisches Verfahren, mit dem man eine Parabel direkt zeichnen kann, da sie nicht durch die Grundoperationen (Kreis und Gerade) erzeugt werden kann. **4. Prinzipieller Unterschied:** - **Kreis:** Erlaubt, da er mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. - **Parabel:** Nicht erlaubt, da sie nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. **5. Mathematischer Hintergrund:** - Die Kreisgleichung ist algebraisch zweiten Grades in beiden Variablen und entspricht der Definition eines Kreises als Menge aller Punkte mit konstantem Abstand zum Mittelpunkt. - Die Parabelgleichung ist zwar auch zweiten Grades, aber sie beschreibt eine andere Kurvenart, die nicht auf die euklidischen Grundkonstruktionen zurückgeführt werden kann. **Fazit:** Euklid lässt die Parabel nicht zu, weil sie nicht mit Zirkel und Lineal erzeugt werden kann, während der Kreis genau diesen Prinzipien entspricht. Das ist der fundamentale Unterschied in der Kurvenerzeugung, der dazu führt, dass Euklid die Parabel nicht zulässt, den Kreis aber schon. Weitere Informationen zu Euklids Geometrie: [Wikipedia: Euklidische Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie) [Wikipedia: Parabel](https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_(Mathematik)) [Wikipedia: Kreis](https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis)

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Gegeben ist, dass die Parabel die x-Achse bei \( x = -2 \) und \( x = 4 \) schneidet. Das bedeutet, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 4 \). Die allgemeine Form einer Parabe... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist, dass die Parabel die x-Achse bei \( x = -2 \) und \( x = 4 \) schneidet. Das bedeutet, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 4 \). Die allgemeine Form einer Parabel (quadratische Funktion) mit den Nullstellen \( x_1 \) und \( x_2 \) lautet: \[ y = a(x - x_1)(x - x_2) \] Setze die Werte ein: \[ y = a(x + 2)(x - 4) \] Wenn keine weiteren Angaben (z.B. Scheitelpunkt oder ein Punkt, durch den die Parabel verläuft) gemacht werden, kann \( a \) beliebig gewählt werden. Häufig wird \( a = 1 \) angenommen, wenn nichts anderes gegeben ist. **1. Gleichung der Parabel (mit \( a = 1 \)):** \[ y = (x + 2)(x - 4) \] \[ y = x^2 - 4x + 2x - 8 \] \[ y = x^2 - 2x - 8 \] **2. Parameter \( b \) in der Form \( y = x^2 + bx + c \):** Vergleiche: \[ y = x^2 - 2x - 8 \] Hier ist \( b = -2 \). **Antwort:** - \( b = -2 \) - Die Gleichung der Parabel lautet: \( y = x^2 - 2x - 8 \) Falls ein anderer Wert für \( a \) gegeben ist, müsste dieser noch eingesetzt werden.

Accepted Answer

Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises bis zum Rand. Der Durchmesser ist die Strecke, die den Kreis durch den Mittelpunkt von einer Seite zur anderen verbindet. Der Durchmesser i... [mehr]

Accepted Answer

Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises bis zum Rand. Der Durchmesser ist die Strecke, die den Kreis durch den Mittelpunkt von einer Seite zur anderen verbindet. Der Durchmesser ist immer doppelt so lang wie der Radius.

Accepted Answer

Der Radius von 5 Metern bedeutet, dass der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises (oder einer Kugel) bis zum Rand (Umfang bzw. zur Oberfläche) genau 5 Meter beträgt. Der Radius ist also die g... [mehr]

Accepted Answer

Der Radius von 5 Metern bedeutet, dass der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises (oder einer Kugel) bis zum Rand (Umfang bzw. zur Oberfläche) genau 5 Meter beträgt. Der Radius ist also die gerade Linie vom Zentrum bis zum Rand und misst in diesem Fall 5 Meter.

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Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich... [mehr]

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Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich** auf Konstruktionen, die nur mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden dürfen. Wenn du aber eine Parabel, zum Beispiel \( y = x^2 \), als zusätzliches Hilfsmittel verwendest, verlässt du die klassischen Regeln der "Zirkel-und-Lineal-Konstruktion". Mit einer Parabel (oder anderen bestimmten Kurven, wie der Neusis-Konstruktion oder der sogenannten "Trisektrix") ist das exakte Winkeldritteln tatsächlich **möglich**. **Warum ist das so?** - Das Problem beim Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist, dass die Gleichung, die du lösen musst (im Wesentlichen eine kubische Gleichung), mit diesen Werkzeugen nicht immer lösbar ist. - Mit einer Parabel kannst du aber geometrisch eine Konstruktion durchführen, die einer Lösung einer kubischen Gleichung entspricht. - Das heißt: Die Parabel erweitert die "Werkzeugkiste" so, dass du Aufgaben lösen kannst, die mit Zirkel und Lineal allein nicht gehen. **Fazit:** Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal unmöglich, aber mit einer Parabel (wie \( y = x^2 \)) möglich, weil du damit zusätzliche mathematische Operationen (wie das Lösen kubischer Gleichungen) geometrisch umsetzen kannst. Der Unmöglichkeitsbeweis gilt nur für die klassischen Werkzeuge, nicht für Konstruktionen mit Parabeln. Weitere Infos: - [Winkeldrittelung – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung) - [Wantzelscher Unmöglichkeitsbeweis – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung#Wantzelscher_Unm%C3%B6glichkeitsbeweis)